In viaggio
tra i secoli: Sophie
Germain,
Legendre, Dirichlet
a cura di Marco D.E. (4A)
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Nel collage (dall'alto in basso, da sinistra a destra): Jean-Pierre Serre, Leonhard Euler, Ernst Eduard Kummer, Leonardo Pisano detto Fibonacci, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Sophie Germain, Gerhard Frey, Goro Shimura, Carl Friedrich Gauss, Gabriel Lamè, Adrien-Marie Legendre, Yutaka Taniyama, Kenneth Alan Ribet.
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Voici ce que j’ai trouvé: Sophie Germain e il piano per attaccare l'Ultimo Teorema di Fermat
Voici ce que j’ai trouvé: Sophie Germain e il piano per attaccare l'Ultimo Teorema di Fermat
Fra i tanti illustri personaggi che è possibile incontrare sulla strada verso la risoluzione dell'Ultimo Teorema di Fermat, dobbiamo citare Sophie Germain (1776 - 1831).
La figura della Germain è molto particolare quanto affascinante. Nei secoli le donne erano sempre state dissuase dallo studio della matematica, in quanto non era ritenuto argomento adatto a queste; la stessa Sophie ricevette segnali negativi dalla sua famiglia. Nonostante questo, lei seguì gli studi matematici per tutta la sua vita.
La maggior parte degli studi della Germain avvennero da autodidatta, poiché, in quanto donna, non aveva accesso ad ambienti di stimolo in cui sviluppare le sue doti matematiche.
Creò un'identità maschile fittizia, Monsieur Antonie-Auguste Le Blanc, per entrare nell’università di Parigi dove conobbe il signor Lagrange, uno dei più grandi matematici dell’epoca. Lagrange rimase colpito dalle doti della signorina Germain e decise di indirizzarla e seguirla negli studi.
L'incontro con la teoria dei numeri avvenne nel 1798 a seguito della lettura dei testi di Legendre e soprattutto di Gauss.
Parte della prima lettera di Sophie Germain a Gauss datata 21 novembre 1804
Fonte: https://archive.org/details/cinqlettresdesop00germ/mode/2up
La Germain, ormai sicura di sé, si applicò nello studio del Teorema di Fermat e grazie alla corrispondenza con Gauss, riuscì ad esporre le sue tesi e guadagnare il rispetto e l’aiuto di uno dei più grandi matematici della storia.
La Germain temeva che Gauss non l’avrebbe attenzionata se le lettere fossero state firmate con il suo vero nome; decise quindi di utilizzare ancora una volta la figura del signor LeBlanc (identità già utilizzata per entrare nell’università di Parigi). Iniziò così una lunga corrispondenza tra Gauss e la Germain, sotto falso nome.
Il carteggio iniziò il 21 novembre 1804, si interruppe nel 1809 per poi riprendere nel 1819, quando l'Accademia di Francia istituì un concorso per provare l'Ultimo Teorema di Fermat.
Sophie rivelò la sua vera identità solo quando la vita di Gauss si trovò in pericolo a causa dell’invasione della Prussia da parte di Napoleone. Temendo che il suo mentore potesse far la stessa fine di Archimede (ucciso da un soldato), la Germain chiese ad un generale amico di famiglia di avere un trattamento di riguardo per Gauss.
Come esprimerle la mia ammirazione e il mio stupore nel vedere il mio stimato corrispondente signor Le Blanc trasformarsi in un personaggio illustre che dà esempio così luminoso di ciò che io stenterei a credere. Il gusto per le scienze astratte in generale e per i misteri dei numeri in particolare è rarissimo: ma non è questo il motivo del mio stupore. Il fascino incantevole di questa scienza sublime si rivela solo a coloro che hanno il coraggio di immergersi nel suo studio. Ma quando una persona del sesso che, secondo i nostri costumi e pregiudizi, deve incontrare difficoltà infinitamente superiori a quelle degli uomini nel familiarizzare con queste scabrose ricerche, riesce nondimeno a sormontare gli ostacoli e a penetrare le parti più oscure della materia, allora senza dubbio ella deve possedere il coraggio più elevato, talenti straordinari e un genio superiore.
(tratto da Singh S. L'Ultimo Teorema di Fermat, pag.137)
Questa fu la risposta ammirata di Gauss, sorpreso ma non spaventato di avere una donna fra i suoi interlocutori più stimati ed apprezzati.
L'idea dimostrativa di Sophie era rivoluzionaria: non dimostrare un singolo caso del teorema, come avevano già fatto Fermat stesso ed Eulero (e come si accingevano a breve a fare Legendre e Dirichlet) ma attaccare il problema nella sua complessità, formulando una dimostrazione generale.
Col tempo, il piano venne in parte ridimensionato e Germain si dedicò alla formulazione di un metodo che prendesse in considerazione un gruppo di numeri.
"[...] Nonostante abbia lavorato per qualche tempo alla teoria delle superfici vibranti [...],
non ho mai smesso di pensare alla teoria dei numeri. Vi darò un’idea di quanto sono assorta in questa area di ricerca ammettendo che, anche senza speranza di successo, preferisco ancora concentrarmi su questo, rispetto ad altri lavori che mi potrebbero interessare, e, lavorando ai quali, potrei ottenere risultati sicuri. Prima che la nostra Accademia proponesse un premio per una
dimostrazione dell’impossibilità dell’equazione di Fermat, questo tipo di sfida, che fu portata alle moderne teorie da un geometra che non possedeva le risorse che abbiamo noi oggi, mi tormentava
spesso. Scorsi una vaga connessione fra la teoria dei residui e la famosa equazione; penso di avervene parlato molto tempo fa, perchè mi colpì appena lessi il vostro libro."
(tratto da Il carteggio fra Sophie Germain e Carl Friedrich Gauss, lettera a Gauss del 12 maggio 1819)
L'entusiasmo che traspare in queste righe fa da contrappeso al totale disinteresse di Gauss per il Teorema di Fermat, proprio lui che aveva influenzato ogni area della matematica. Proprio Gauss rispose più o meno con queste parole ad Olbers, che tentava di coinvolgerlo nella risoluzione del problema:
Confesso che il Teorema di Fermat come proposizione a sé stante non suscita in me particolare interesse in quanto io stesso potrei facilmente stabilire una moltitudine di proposizioni di questo tipo che non si possono nè dimostrare, nè negare.
(lettera a Olbers del 21 marzo 1816)
Parte della lettera di Sophie Germain a Gauss datata 12 maggio 1819
Fonte: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086009001347
In una lettera a Gauss, datata 12 maggio 1819, la Germain descrisse il suo metodo: consisteva nel prendere dei particolari numeri primi p, tali che 2p + 1, fosse anch’esso un numero primo. A questi numeri p venne dato nome di primi di Sophie Germain mentre ai numeri della forma 2p + 1 venne dato nome primi sicuri.
Il teorema della Germain affermava che se p e 2p + 1 sono entrambi primi e maggiori di 2, allora l'equazione
non ha soluzioni primitive in cui x, y, z non siano divisibili per p.
Il contributo della Germain è stato quello di indicare insiemi di numeri (e non singoli valori) peri quali il Teorema di Fermat sarebbe potuto essere dimostrato. Secondo il teorema sopra riportato, sarebbe stato possibile dividere le soluzioni in due casi: x, y, e z non divisibili per p (caso 1) e x, y, z divisibili per p (caso 2). Il teorema della Germain dimostrava il caso 1 per i primi di Sophie minori di 100 e cioè 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89.
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Fonte: Unknown authorUnknown author, Public domain, via Wikimedia Commons
I primi a utilizzare questo metodo furono Dirichlet e Legendre: entrambi, indipendentemente l'uno dall’altro, nel 1825 giunsero allo stesso risultato, ovvero che per n = 5 il Teorema è vero.
Utilizzarono entrambi il metodo della Germain, perciò, il loro successo è frutto della mente di Sophie.
In particolare Legendre dimostrò successivamente che se p è un primo tale che 4p + 1 oppure 8p + 1 oppure 10p + 1 oppure 14p + 1 oppure 16p + 1 è primo allora il caso 1 del Teorema di Fermat vale per ogni p minore di 100.
Adrien-Marie Legendre
Fonte: François-Séraphin Delpech, Public domain, via Wikimedia Commons
La seconda dimostrazione ottenuta grazie a questo metodo, fu quella di Lamé, che grazie all’aggiunta di alcune ingegnose modifiche al lavoro della Germain, giunse a dimostrare il Teorema per n = 7 nel 1837.
La storia avanza a passi ancora troppo piccoli... si arriverà mai ad una soluzione?
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