Primo teorema di Euclide
a cura di Virginia B. e Damiano G. (2B)
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Foto di Markus Spiske da Pexels
In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su uno dei due cateti è equivalente al rettangolo costruito sull’ipotenusa con base congruente alla proiezione ortogonale del cateto sull’ipotenusa e altezza congruente all’ipotenusa.
Prendiamo il quadrato costruito sul cateto AB e il rettangolo formato da altezza BH (proiezione ortogonale di AB sull’ipotenusa) e da base BD congruente all’ipotenusa.
Prolunghiamo verso l'alto i segmenti BD e HE. Siano L e M i punti di intersezione fra il prolungamento di FG e rispettivamente i prolungamenti di BD e HE.
Prendiamo in considerazione i triangoli LFB e ABC. Essi hanno:
I triangoli sono congruenti per il secondo criterio.
In particolare BC e BL saranno congruenti.
Se noi ora invece consideriamo BLMA e BFGA, essi saranno equivalenti poiché hanno stessa base BA e stessa altezza FB.
Ora andiamo a considerare il parallelogramma BLMA e il rettangolo BHED. Essi sono equivalenti perché hanno la stessa base BD e LB (per la proprietà transitiva, essendo l’ipotenusa congruente a BD come da costruzione e a LB come da dimostrazione precedente, anche LB sarà congruente a BD) e stessa altezza BH.
Per la proprietà transitiva, anche BFGA sarà equivalente a BHED.
Ora passiamo all’altro caso, cioè la costruzione del quadrato sull’altro cateto.
Prendiamo ora il quadrato costruito sul cateto AC e il rettangolo formato da altezza HC e base HL (HC è la proiezione ortogonale del segmento AC sull’ipotenusa e HL è un segmento pari alla lunghezza dell’ipotenusa).
Prolunghiamo verso l'alto i segmenti CM e HL. Siano J e F i punti di intersezione fra il prolungamento di ED e rispettivamente i prolungamenti di CM e HL.
Prendiamo in considerazione i triangoli CEJ e ABC. Essi hanno:
I triangoli sono congruenti per il secondo criterio.
In particolare JC è congruente a BC. Ora consideriamo il parallelogramma ACJF e il quadrato ADEC. Essi sono equivalenti perché hanno la stessa base AC e la stessa altezza CE. Se noi ora consideriamo il parallelogramma ACJF e il rettangolo HCML, troviamo che le due figure sono equivalenti poiché hanno la stessa base (per la dimostrazione precedente, sappiamo che JC è congruente a BC e sapevamo già che CM è congruente a BC, quindi per la proprietà transitiva anche CJ è congruente a CM) e stessa altezza HC. Le due figure saranno anch’esse equivalenti. Per la proprietà transitiva, il quadrato ADEC è equivalente al rettangolo HCML.
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