Proposizione 29, Libro X, Lemma I
a cura di Giulia L. e Elisa Q. (3A)
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Trovare due numeri quadrati tali che anche la loro somma sia un quadrato.
Si considerino due numeri AB, BC ed essi siano ambedue pari o dispari. E poiché, sia che si sottragga un numero pari da un numero pari sia che si sottragga un numero dispari da un numero dispari, ciò che rimane è un numero pari (proposizione 26, Libro IX), dunque AC è pari.
Si divida per metà AC in D. Inoltre, siano AB, CB numeri piani simili oppure quadrati, anch’essi numeri piani simili. La somma del prodotto di AB per CB e del quadrato di DC è uguale al quadrato di DB (proposizione 6, Libro II).
Ma il prodotto di AB per CB è un numero quadrato, in quanto è dimostrato che il prodotto di due numeri piani simili è un quadrato (proposizione 1, Libro IX). Si sono dunque trovati due numeri quadrati, cioè il prodotto di AB per CB e il quadrato di DC che, sommati, danno il quadrato di DB.
Ed è evidente che si sono ancora trovati due numeri , il quadrato di BD e quello di CD, tali che la loro differenza, ossia il prodotto di AB per CB, sia un quadrato, qualora AC, CB siano numeri piani simili. Qualora poi non siano numeri piani simili, si sono trovati due numeri quadrati, il quadrato di BD e quello di CD, la cui differenza, ossia il prodotto di AB per BC, non è un quadrato.
L’espressione
fornisce una terna pitagorica se AB*CB è un quadrato, ossia se AB e CD sono due numeri piani simili. Utilizzando la notazione moderna indichiamo le lunghezze dei segmenti AB e CB con due numeri interi p e q, ne segue che:
La relazione di Euclide diventa:
L’equazione fornisce una terna pitagorica se p e q sono due quadrati oppure, più in generale, due numeri piani simili, cioè che si possono scomporre in coppie di fattori proporzionali:
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