Il teorema di Pitagora...non è di Pitagora
a cura di Angelica B., Elena C., Eleonora P., Miriam S. (2A)
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Si narra che Pitagora elaborò il suo teorema osservando le piastrelle quadrate del pavimento mentre stava aspettando di essere ricevuto da Policrate. Osservò che, se avesse tagliato una piastrella lungo una delle sue diagonali, avrebbe ottenuto due triangoli rettangoli isosceli congruenti.
Immaginò di costruire dei quadrati sull’ipotenusa e sui cateti del triangolo ottenuto e notò che l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa era equivalente alla somma di quelle dei quadrati costruiti sui cateti. Giunse poi alla conclusione che la regola era applicabile per tutti i triangoli rettangoli, non necessariamente isosceli.
Al contrario di quello che si pensa, Pitagora non fu il primo a sfruttare le proprietà del teorema, già utilizzato precedentemente da diversi popoli.
Tavoletta babilonese
Tavoletta babilonese
Uno di questi popoli fu quello babilonese. Infatti oggi troviamo conservata all’Università di Yale, negli Stati Uniti, una tavoletta di argilla risalente all’impero di Hammurabi (1800 - 1600 a.C.) su cui è inciso un quadrato con le sue diagonali.
Sul lato del quadrato è presente la sua lunghezza (30), sulla diagonale invece il prodotto tra la radice di due (1,414213) e la lunghezza del lato (42,42639).
L'analisi della tavoletta
sul lato del quadrato troviamo 30, la sua misura;
il numero al centro è 1;24,51,10. Se trasformiamo la notazione sessagesimale in notazione decimale, si ottiene:
che corrisponde al valore di √2 fino alla quinta cifra decimale
il numero immediatamente successivo è 42;25,35 ed è il prodotto fra il valore precedente e il lato del quadrato:
Il problema dello scivolamento del palo o della canna
Il problema dello scivolamento del palo o della canna
Nel testo n°9 della tavoletta babilonese B.M. 85196, risalente al tardo periodo babilonese, è presente un problema in cui ci si chiede quanto disti una canna lunga 30 dal muro, essendo scivolata dall’alto verso il basso di 6.
La canna, il muro e il suolo formano un triangolo rettangolo.
Conosciamo la misura di n(6), d(30) e dobbiamo trovare y. Sulla tavoletta troviamo i calcoli algebrici dello Scriba (come riportato in Genesi del Teorema di Pitagora di Aldo Bonet):
30x30 = 900 (Quadrato costruito sulla canna: d²)
30-6 = 24 (x = d-n)
24x24 = 576 (x² = (d-n)²)
900-576 = 324 (y² = d²-x²)
(√324) = 18 (y, il valore incognito cercato)
A seguire è presente anche il problema in forma di verifica con y = 18, d = 30 e n valore incognito.
Papiro egizio 6619 (papiro di Berlino)
Fonte: Hans Schack-Schackenburg (1853-1905), Public domain, via Wikimedia Commons
Il Papiro di Berlino 6619, risalente al XX - XIX secolo a.C., è uno dei più antichi documenti risalenti al mondo egizio ed è anche la prova del fatto che gli Egizi sapessero applicare il teorema di Pitagora. Uno dei due problemi presenti sul papiro afferma che:
l’area di un quadrato di 100 è uguale a quella di due quadrati più piccoli. Il lato di uno è ½ + ¼ il lato dell'altro.
Possiamo risolvere algebricamente il nostro problema. Infatti, chiamando x e y i lati dei due quadrati minori possiamo ricavare il seguente sistema:
Attenzione! Algebricamente y può assumere anche valore di -8 e x di -6 (come si evince dal grafico a destra) ma trattandosi di un problema geometrico prendiamo in considerazione solo le soluzioni positive.
Le dimostrazioni in terra cinese
Nei testi Chou Pei Suan Ching (risalente al 500 - 200 a.C) e Chiu Chang Suan Shu sono presenti due problemi sui triangoli rettangoli che si basano sulla scomposizione di aree in parti uguali. Questo dimostra che il teorema di Pitagora era già applicato anche nella matematica cinese antica.
Il Chiu Chang Suan Shu è risalente agli inizi della dinastia Han (206 a.C - 220 d.C.) ed è stato tramandato con una serie di commentari successivi tra i quali quello di Lui Hui del III secolo. Presenta 246 problemi distribuiti in nove capitoli. L’ultimo di questi, intitolato Angoli retti (KouKu), contiene 24 problemi sui triangoli rettangoli. All’inizio è presente l’algoritmo equivalente al teorema di Pitagora.
Questo algoritmo era già presente nel Chou Pei Suan Ching, testo più antico rispetto all'altro dal quale è tratta la figura qui accanto.
Fonte: Chinese Pythagorean theorem, from page 22 of Joseph Needham's Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth, published in 1986 by Cave Books Ltd., based in Taipei (with permission from Cambridge University Press).
Chinese_pythagoras.jpg: http://en.wikipedia.org/wiki/User:Avsaderivative work: Brews ohare, Public domain, via Wikimedia Commons
Thus, let us cut a rectangle (diagonally), and make the width (kou) 3 (units) wide, and the length (ku) 4 (units) long. The diagonal (ching) between the (two) corners will then be 5 (units) long. Now after drawing a square on this diagonal, circumscribe it by half-rectangles like that which has been left outside, so as to form a (square) plate. Thus the (four) outer half-rectangles of width 3, length 4, and diagonal 5, together make (te chheng) two rectangles (of area 24); then (when this is subtracted from the square plate of area 49) the remainder (chang) is of area 25. This (process) is called “piling up the rectangles.
(Testo tratto da Needham J., Wang L., Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth, Cambridge, Cambridge University Press, 1959)
Dividiamo un rettangolo (diagonalmente) e poniamo che la larghezza (kou) sia di 3 (unità) e la lunghezza (ku) di 4 (unità). La diagonale (ching) tra i due angoli risulterà quindi lunga 5 (unità). Ora, dopo aver disegnato un quadrato su questa diagonale, circoscriviamolo con mezzi rettangoli come quello che è rimasto fuori in modo da formare una tabella (quadrata). I “quattro” mezzi rettangoli esterni, che misurano 3 unità di larghezza, 4 di lunghezza e 5 di diagonale, formano in tal modo insieme due rettangoli (di area 24); quindi (quando questa viene sottratta dalla tabella quadrata di area 49) il rimanente ha un’area di 25 unità. Questo (procedimento) viene chiamato “raggruppare i rettangoli”.
Altra dimostrazione cinese del teorema di Pitagora è quella di Liu Hui, contenuta nel Chiu Chang Suan Shu.
Fonte delle immagini: http://donwagner.dk/Pythagoras/Pythagoras.html
Costruito un quadrato sull'ipotenusa del triangolo rettangolo e due quadrati sui suoi cateti, si scompongono le aree dei quadrati sui cateti in poligoni, disponendoli in modo che si trovino tutti all’interno del quadrato costruito sull’ipotenusa. Ciò dimostra che la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è uguale all’area del quadrato costruito sull’ipotenusa.
The shorter leg multiplied by itself is the red square, and the longer leg multiplied by itself is the blue square. Let them be moved about so as to patch each other, each according to its type. Because the differences are completed, there is no instability. They form together the area of the square on the hypotenuse; extracting the square root gives the hypotenuse.
(Testo tratto da Wagner, Donald B., A proof of the Pythagorean theorem by Liu Hui (Third Century A.D.), Historia Mathematica 12, 1985)
Sulvasutra
Nel II millennio a.C. si sviluppò nella Valle dell’Indo la cultura vedica.
I testi più importanti di questa cultura si trovano nei Sulvasutra, scritti sotto forma di sutra (testi molto brevi che riassumono un messaggio). All’interno dei Sulvasutra erano presentate le forme e le misure ideali per rendere gli altari propizi ai sacrifici.
All’interno del Sulvasutra di Baudhayana, risalente all’800 - 600 a.C., troviamo un enunciato del teorema di Pitagora:
La corda (sulba) che si tira nel senso della diagonale di un quadrato produce un’area la cui dimensione è doppia rispetto al quadrato originale.
Fonte: AA.VV., L’enigma di Fermat. Una sfida lunga tre secoli, volume della collana Mondo Matematico, Milano, RBA, 2010
Fonte: AA.VV., L’enigma di Fermat. Una sfida lunga tre secoli, volume della collana Mondo Matematico, Milano, RBA, 2010
Nel Sulvasutra di Katyayana si trova una versione più generale di quanto detto da Baudhayana:
La corda della diagonale di un rettangolo dà un’area prodotta dalla somma dei lati orizzontali e verticali.
In realtà c’è un aspetto che accomuna quanto abbiamo raccontato finora, legando popoli tanto distanti nel tempo e nello spazio: si tratta di semplici applicazioni di una regola ma non di un teorema.
Infatti manca qualcosa di fondamentale: la sua dimostrazione.
Ed è proprio di questo che ci occuperemo nelle prossime pagine.
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