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- Linguagem das probabilidades
Experiência aleatória
Uma experiência aleatória é uma cujo são conhecidos os resultados possíveis e não é possível determinar o resultado de cada uma das experiências, independente de quantas vezes se repetir.
Universo (espaço) de resultados ou espaço amostral
É o conjunto dos resultados possíveis relacionados a uma experiência e representa-se por: E, S ou Ω
Acontecimento
Dada uma experiência aleatória na qual o espaço amostral é E, designa-se a todo o subconjunto de E como acontecimento.
Exemplo: Colocam-se onze fichas numeradas de 1 a 11, distinguíveis unicamente pelo seu número numa caixa vazia. Seguidamente retira-se uma ficha, ao acaso, e observa-se o seu número.
Sejam A e B os acontecimentos:
A: "a ficha retirada têm número ímpar"
B: "a ficha retirada é menor que 7"
Espaço amostral:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
Acontecimento A: A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
Acontecimento B: B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Probabilidade no conjunto P(E)
Sendo E um conjunto finito, define-se probabilidade no conjunto P(E) como sendo uma função P de valores não negativos que garante as três seguintes condições:
· Possui como domínio P(E)
· P(E) = 1
· Para A, B ∈ P(E) disjuntos, P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Em linguagem das probabilidades:
O conjunto P(E) denomina-se como espaço de acontecimentos;
Cada elemento do conjunto P(E) refere-se como acontecimento;
P(A), para A ∈ P(E) , designa-se por probabilidade do acontecimento A;
O trio (E, P(E), P) designa-se por espaço de probabilidade.
Sendo E um conjunto finito e P uma probabilidade no conjunto P(E)
· O conjunto vazio ∅ é designado como acontecimento impossível.
· O conjunto E (espaço amostral) é designado por acontecimento certo.
· Dois acontecimentos A e B disjuntos, ou seja, A ∩ B = ∅, denominam-se como incompatíveis (ou mutuamente exclusivos).
· Dois acontecimentos A e B designam-se por complementares (ou contrários ) se A ∩ B = ∅ e A ∪ B = E .
· Dois acontecimentos que tenham a mesma probabilidade dizem-se equiprováveis.
· Um acontecimento A diz-se elementar se #A = 1 .
· Um acontecimento A diz-se composto se #A ≥ 2 .
- Definição de Laplace
Definição de Laplace
Sendo E um conjunto finito e P a probabilidade em P(E) definida como:
∀A ∈ P(E), P(A) = #A / #E
A probabilidade desta maneira definida em P(E) é a única na qual os acontecimentos elementares são equiprováveis.
No caso dos acontecimentos elementares serem equiprováveis, tem-se:
P(A) = n.º de casos favoráveis / n.º de casos possíveis
Seja E um conjunto finito e P uma probabilidade em P(E), sendo que A ⊂ E, então os casos possíveis são os elementos de E, o número de casos possíveis é equivalente a #E, os casos favoráveis a A são os elementos deste mesmo e o número de casos favoráveis a A é equivalente a #A.
Curiosidade
Pierre Simon de Laplace (1749-1827) foi um matemático, físico e astrónomo contemporâneo da Revolução Francesa.
Foi um dos matemáticos que mais contributos deram para a teoria das probabilidades.
Laplace escreveu: “ A teoria das probabilidades é apenas o senso comum expresso em números.”
- Propriedades da probabilidade
Monotonia da probabilidade
Se A ⊂ B, então P(A) ≤ P(B)
Sendo Ā o elemento contrário de A, então: P(Ā) = 1 - P(A)
Sendo { } o acontecimento impossível, então: P({ }) = 0
Sendo A, B ∈ P(E), se A ⊂ B , então: A ⊂ B ⇒ P(B \ A) = P(B) - P(A)
Sendo A, B ∈ P(E), então: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
∀A ∈ P(E), P(A) ∈ [0 , 1]
Curiosidade
O interesse do homem em estudar os fenômenos que envolviam determinadas possibilidades fez surgir a Probabilidade. Alguns indícios alegam que o surgimento da teoria das probabilidades teve início com os jogos de azar disseminados na Idade Média. Esse tipo de jogo é comumente praticado através de apostas, na ocasião também era utilizado no intuito de antecipar o futuro.
O desenvolvimento das teorias da probabilidade e os avanços dos cálculos probabilísticos devem ser atribuídos a vários matemáticos. Atribui-se aos algebristas italianos Pacioli, Cardano e Tartaglia (séc. XVI) as primeiras considerações matemáticas acerca dos jogos e das apostas. Através de estudos aprofundados, outros matemáticos contribuíram para a sintetização de uma ferramenta muito utilizada cotidianamente. Dentre os mais importantes, podemos citar:
Blaise Pascal (1623 – 1662)
Pierre de Fermat (1601 – 1655)
Jacob Bernoulli (1654 – 1705) , etc...
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