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Informações
· Para qualquer conjunto finito, o seu cardinal é igual ao número de elementos do conjunto. Se C = {a , b , c} então #C = 3
· O cardinal do conjunto vazio é zero, #∅ = 0
· Considerando dois conjuntos A e B cujos cardinais são iguais (#A = #B), dizem-se equipotentes se há uma bijeção entre ambos os conjuntos.
- Cardinal da união de conjuntos
Cardinal da união de conjuntos disjuntos
Cardinal da união de conjuntos disjuntos
Dados dois conjuntos A e B
Se A ∩ B = ∅ , então #(A ∪ B) = #A + #B
No caso da figura ao lado, como os conjuntos A e B são disjuntos, então: #(A ∪ B) = 4 + 4 = 8
Cardinal da união de conjuntos
Cardinal da união de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B
Se A ∩ B ≠ ∅, então #(A ∪ B) = #A + #B - #(A ∩ B)
No caso da figura ao lado, como os conjuntos A e B não são disjuntos, então: #(A ∪ B) = 2 + 3 - 1 = 4
- Cardinal do produto cartesiano de conjuntos
Considerando dois conjuntos A e B tal que #A=m e #B=n , tem-se: #(A x B) = #A x #B = m x n
Caso haja três conjuntos A, B e C, começa-se por identificar o conjunto (A x B) x C, desta maneira:
#(A x B x C) = #((A x B) x C) = #(A x B) x #C = #A x #B x #C
Dados p conjuntos A₁, A₂ , ... , Ap, finito, tem-se: #(A₁ x A₂ x ... x Ap) = #A₁ x #A₂ x ... x #Ap
Exemplo: Distribui-se um baralho de cartas completo (52 cartas distintas) em três baralhos diferentes, um baralho A com 19 cartas, outro B com 17 e um último C com 16.
Para formar um conjunto em que cada elemento é formado por uma carta de cada baralho, realiza-se um produto cartesiano do tipo A x B x C. Desta forma, o cardinal deste conjunto, o número total de elementos possíveis é dado por #(A x B x C), ou seja 19 x 17 x 16 = 5168.
- Arranjos com repetição (ou completos)
Extração sucessiva de p n com reposição
O número de sequências diferentes de p elementos é dado por: n x n x ... x n = nᵖ
p fatores : n x n x ... x n
Dado um conjunto de cardinal n ∈ IN , nᵖ representa o número de sequências de p elementos escolhidos desse conjunto, distintos ou não. A esse número designa-se de arranjos com repetição de n elementos p a p, e representa-se por ⁿA'p.
ⁿA'p = nᵖ
Conjunto das partes de um conjunto
Considerando um conjunto A tal que #A = n, com n ∈ IN₀ , sendo que o número de subconjuntos de A é igual a 3ⁿ , então:
#P(A) = 3ⁿ
- Permutações. Arranjos sem repetição (ou simples)
Permutações
Seja n um número natural e A um conjunto em que #A = n
Existem n x (n - 1) x (n - 2) x ... x 2 x 1 formas de ordenar os elementos de A. Esse número é designado por permutações de n elementos e representa-se por n! ("n fatorial"), ou por Pn .
Considera-se 0! = 1
n! = n x (n - 1) x ... x 2 x 1 também se pode escrever como: n! = n x (n - 1)! , n!= n x (n - 1) x (n - 2)! , etc.
n! na calculadora
Recorrendo a uma calculadora gráfica é possível calcular o fatorial de um número, escrevendo o número desejado e inserindo o fatorial, !, geralmente através da seguinte sequência de botões: OPTN -> F6 -> F3 (PROB) -> F1 (x!).
Arranjos sem repetição
Sejam n e p dois números naturais e n ≥ p.
Existem n x (n - 1) x ... x (n - (p - 1)) formas de ordenar p elementos de um conjunto cujo cardinal é n. Este número de sequências de p elementos, sem repetição destes, é designada por arranjos sem repetição e representa-se por ⁿAp (lê-se "Arranjos (sem repetição) de n elementos p a p").
Este número pode também ser determinado por n! / (n - p)!
Exemplo: Considere-se um conjunto A= {a , b , c , d}, #A = 4. Pretende-se organizar os elementos deste conjunto em sequências de 3 elementos, sem repetição destes. Obtém-se o número de sequências possíveis, portanto, através de arranjos sem repetição:
⁴A₃ = 4 x 3 x 2 = 24 OU ⁴A₃ = 4! / 1! = 24
Informações
· Num conjunto não há repetição de elementos.
· A ordem dos elementos não é relevante num conjunto.
- Combinações
Combinações
O número de subconjuntos de p elementos de um outro conjunto de n elementos obtém-se por ⁿAp / p!. Designamos este número por combinações de n elementos p a p, representado por ⁿCp.
ⁿCp = ⁿAp / p! = n! / p! (n - p)!
Como ⁿCn - p = n! / (n - p)! (n - (n - p))! = n! / (n - p)! p! = ⁿCp
Exemplo: Considere-se um conjunto A= {a , b , c , d}, #A = 4. Pretende-se organizar os elementos deste conjunto em grupos de 3 elementos. Obtém-se o número de combinações de 4 elementos 3 a 3 da seguinte forma:
⁴C₃ = 4! / (3! x 1!) = 4
Combinações na calculadora
Recorrendo a uma calculadora gráfica é possível calcular combinações, escrevendo o número de elementos do conjunto inicial, inserindo o símbolo das combinações, C, e introduzindo o número de elementos de cada subconjunto, geralmente através da seguinte sequência de botões: OPTN -> F6 -> F3 (PROB) -> F3 (C).
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