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1. Página 14 - Novo Espaço 12 (Parte 1)
Seja U o conjunto U = {1, 4, 6, 7, 8, 12, 14}.
Considera os conjuntos A e B, contidos em U, tais que:
A = {1, 4, 7}
B ={1, 4, 12, 14}
Define os conjuntos em extensão:
1.1) B̄
______
1.2) A ∪ B
1.3) B \ A
______
1.4) A ∩ B̄
2. Matemática absolutamente - Exame – 2022, 1.ª fase
Seja Ω, conjunto finito, o espaço amostral associado a uma dada experiencia aleatória.
Sejam A e B dois acontecimentos (A ∈ Ω e B ∈ Ω).
Sabe-se que:
• P (B̄) = 0,6 ;
• P(A ∪ B) = 0,6 ;
• A ∩ B = ∅ .
Qual é o valor de P (Ā) ?
(A) 0,2 (B) 0,4 (C) 0,6 (D) 0,8
3. Matemática absolutamente - Teste Intermédio 12º ano – 10.12.2008
Na figura ao lado está representado um dado equilibrado, bem como a respetiva planificação.
Conforme se pode observar na figura, existem três números em cada face.
Lança-se este dado uma só vez e observam-se os números da face que fica voltada para cima. Diz-se então que saíram esses três números.
Seja R o acontecimento os números saídos são todos iguais.
Seja S o acontecimento a soma dos números saídos é igual a 3.
Os acontecimentos R e S são independentes? Justifique.
4. Página 17 - Novo Espaço 12 (Parte 1)
Uma empresa tem 82 funcionários. Sabe-se que 36 funcionários utilizam autocarro para se deslocarem para a empresa, 30 utilizam comboio e 25 não utilizam nenhum destes meios de transporte.
Designando por A e C os conjuntos dos funcionários que utilizam, respetivamente, o autocarro e o comboio, determina
4.1) #(A ∩ C)
4.2) o número de funcionários que utiliza apenas um destes tipos de transporte público
5. Página 21 - Novo Espaço 12 (Parte 1)
Um dado com a forma de dodecaedro tem as faces numeradas de 1 a 12.
O dado é lançado três vezes consecutivas e após cada lançamento regista-se o número da face que fica voltada para cima, obtendo-se uma sequência de três números.
Determina o número total de sequências.
6. Página 25 - Novo Espaço 12 (Parte 1)
Numa prateleira vão ser colocados, lado a lado, 13 livros diferentes.
6.1) De quantas maneiras é possível ordernar os livros na prateleira?
6.2) De quantas maneiras é possível ordenar os livros na prateleira se os dois livros mais pequenos ocuparem os extremos?
7. Matemática absolutamente - Exame – 2022, 1ª Fase
O Semáforo é um jogo matemático em que se usa um tabuleiro retangular de 3×4 casas e se dispõe de peças verdes, peças amarelas e peças encarnadas. As peças da mesma cor são iguais.
Na figura ao lado, está representado um tabuleiro do jogo Semáforo cujas casas foram numeradas de 1 a 12 .
Pretende-se colocar 2 peças no tabuleiro, uma peça por casa, de modo a obter uma configuração colorida. Para o efeito, dispõe-se de várias peças de cada cor.
Considera-se uma configuração colorida o resultado da colocação de duas peças no tabuleiro. Duas configurações coloridas são diferentes se diferirem nas casas ocupadas pelas peças usadas ou na cor dessas peças.
A expressão seguinte permite determinar o número de configurações coloridas diferentes que é possível obter.
3 × 12C2 + 3C2 × 12A2
Explique, no contexto descrito, cada parcela desta expressão.
8. Matemática absolutamente - Exame – 2011, Prova especial
O terceiro elemento de uma linha do Triângulo de Pascal é 61 075.
A soma dos três primeiros elementos dessa linha é 61 426.
Qual é a soma dos três últimos elementos da linha seguinte?
(A) 61 425 (B) 61 426 (C) 61 777 (D) 122 501
9. Matemática absolutamente Exame – 2018, Ep. especial
A soma dos dois últimos elementos de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 35.
Escolhem-se, ao acaso, dois elementos dessa linha.
Determine a probabilidade de esses dois elementos serem iguais.
Apresente o resultado na forma decimal, arredondado às centésimas.
10. Exercício original
Admitem-se as próximas duas linhas consecutivas do Triângulo de Pascal.
.... 70 y 28 ....
.... 126 z ....
Indique o valor de z.
(A) 66 (B) 78 (C) 98 (D) 56
11. Página 48 - Novo Espaço 12 (Parte 1)
A soma dos elementos de uma linha do Triângulo de Pascal é 512.
Determina:
11.1) o número de elementos dessa linha;
11.2) o terceiro elemento dessa linha.
12. Página 49 - Novo Espaço 12 (Parte 1)
Determina o desenvolvimento das seguintes expressões, utilizando a fórmula do Binómio de Newton.
12.1) (x + 3)⁴
12.2) (2x + y)⁵
12.3) (x/1 + 1)⁶
13. Matemática absolutamente - Exame – 2014, 2ª Fase
Um dos termos do desenvolvimento de (2/x + x)¹⁰ , com x ≠ 0, não depende da variável x
Qual é esse termo?
(A) 10240 (B) 8064 (C) 1024 (D) 252
14. Página 50 - Novo Espaço 12 (Parte 1)
Considera a expressão:
A(x) = (x/2 -1)⁵
Recorre ao desenvolvimento de A(x) pelo Binómio de Newton e determina:
14.1) a soma dos coeficientes binomiais
14.2) o coeficiente do termo do 3º grau
SOLUÇÕES
SOLUÇÕES
1.
1.1) B̄ = {6, 7, 8}
______
1.2) A ∪ B = {6, 8}
1.3) B \ A = {12, 14}
______
1.4) A ∩ B̄ = {1, 4, 6, 8, 12, 14}
2. Opção D
3. R e S não são independentes porque P(R) × P(S) ≠ P (R ∩ S)
4.
4.1) #(A ∩ C) = 9
4.2) 48
5. 1728
6.
6.1) 6 227 020 800
6.2) 79 833 600
7. Se as duas peças a colocar no tabuleiro foram da mesma cor, interessa selecionar 2 das 12 posições do tabuleiro, sem considerar a ordem relevante (¹²C₂) porque as peças a colocar são iguais, e o número de seleções possíveis deve ser multiplicado por 3 porque existem 3 cores para as peças a colocar (verdes, amarelas e encarnadas). Ou seja, o número de formas diferentes de dispor duas peças da mesma cor no tabuleiro é:
3 × ¹²C₂
Se as duas peças foram de cores distintas, interessa selecionar 2 das 3 cores disponíveis (³C₂), e para cada um destes pares de cores, escolher 2 das 12 posições do tabuleiro, considerando a ordem relevante (¹²A₂) porque as peças a colocar são diferentes. Ou seja, o número de formas diferentes de dispor duas peças de cor diferentes no tabuleiro é:
³C₂ × ¹²A₂
Como é possível, em alternativa, obter qualquer um destes dois tipos de configurações temos que o número de configurações coloridas diferentes que é possível obter é:
3 × ¹²C₂ + ³C₂ × ¹²A₂
8. Opção C
9. 17/³⁵C₂ = 0,03
10. (B)
11.
11.1) 10
11.2) 36
12.
12.1) x⁴ + 12x³ + 54x² + 108x +81
12.2) 32x⁵ + 80x⁴y +80x³y² + 40x²y³ + 10xy⁴ + y⁵
12.3) x⁶/64 + 3x⁵/16 + 15x⁴/16 + 5x³/2 + 15x²/4 + 3x + 1
13. Opção B
14
14.1) 32
14.2) 5/4
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