1. Sejam A = {5, 6}, B = {3, 5, 7}, C = {2, 3, 9} três conjuntos pertencentes a um universo de conjuntos U
Determina:
a) #(A ∪ B)
b) #(A ∪ C)
c) #D, sabendo que #(A ∪ D) = 14 e A ∩ D = ∅
Resolução
a) Como A ∩ B ≠ ∅, então #(A ∪ B) = #A + #B - #(A ∩ B)
#A = 2
#B = 3
(A ∩ B) = {5} → #(A ∩ B) = 1
#(A ∪ B) = 2 + 3 -1 = 4
b) Como A ∩ C = ∅, #(A ∪ C) = #A + #C
#A = 2
#C = 3
#(A ∪ C) = 2 + 3 = 5
c) A ∩ D = ∅, então #(A ∪ D) = #A + #D
#A = 2
#D = ?
#(A ∪ D) = 14 ⇔
⇔ #A + #D = 14
⇔ 2 + #D = 14
⇔ #D = 12
2. Um dado cúbico tem as suas faces numeradas de 1 a 6. Este é lançado 5 vezes consecutivas e, após cada lançamento, é registado o número que surge na face voltada para cima, obtendo uma sequência com 5 números. Determina o número total de possíveis sequências.
Resolução
São realizados 5 lançamentos consecutivos. Em cada um lançamento é possível obter 1 de 6 números (1, 2, 3, 4, 5 ou 6).
Então,
__ __ __ __ __
6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 7776
Ou seja, 6A'5 = 6⁵ = 7776
3. A turma do Daniel tem 18 alunos. Numa aula de Educação Física, os 18 alunos colocam-se em fila para realizar um exercício de sprint cronometrado. Determina de quantas maneiras é possível distribuir os 18 alunos na fila.
Resolução
Os 18 alunos deverão ser distribuidos por 18 "espaços" na fila, sem que nenhum esteja em dois "espaços" simultaneamente, o que seria impossível. Estamos perante uma situação na qual devemos aplicar uma permutação.
Logo,
18! = 6402373705728000
4. Atenta novamente na turma de 18 alunos. Após a entrega do teste de Matemática, os nomes dos três alunos que tiveram as melhores notas foram registados no quadro de cortiça ao fundo da sala, da nota mais alta para a mais baixa. Determina o número de maneiras de obter os 3 alunos cujos nomes foram registados se:
a) Não existem condições adicionais
a) O Daniel obteve a melhor nota
Resolução
a) Existem 18 alunos na turma e, de entre estes, 3 tiveram os seus nomes escritos no quadro, ordenados pela sua nota. Ora, 1 entre os 18 poderá ter tido a melhor nota, 1 entre os 17 restantes a segunda melhor e 1 de entre os 16 em sobra a terceira. Estamos, portanto, perante um caso de arranjos sem repetição.
18A3 = 18 x 17 x 16 = 4896
b) O caso dado é semelhante ao primeiro, no entanto, sabe-se que o Daniel teve a melhor nota da turma, pelo que existe uma única possíbilidade para o primeiro lugar.
__ __ __
1 x 17 x 16 = 272
5. Retomando mais uma vez a situação da turma referida anteriormente, a turma irá participar num pequeno festival organizado pelo agrupamento de escolas do concelho, ajudando na organização, nos stands de comida, etc. Dois dos alunos serão escolhidos como apresentadores para o concerto que decorrerá durante o festival. Determina de quantas maneiras é possível formar este par.
Resolução
Na turma existem 18 alunos, pelo que 2 destes serão os apresentadores do concerto, não interessando a ordem em que são escolhidos pois a sua função será indentica. Estamos, portanto, perante uma situação na qual as combinações de elementos são aplicáveis.
18C2 = 18! / 2!16! = 153