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- Inclusão e igualdade de conjuntos
Exemplo de um conjunto A incluido num B
Inclusão de conjuntos
Inclusão de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, considera-se que o conjunto A está contido em B (ou seja, A é subconjunto de B), quando todo o x pertencente a A, pertence também a B, dado pela proposição.
∀ x, x ∈ A ⇒ x ∈ B
Quando esta proposição é verdadeira, dizemos de facto que A está contido em B, isto é A ⊂ B
Igualdade de conjuntos
Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos C e D são considerados iguais quando C ⊂ D e D ⊂ C, ou seja, quando os conjuntos se contêm um ao outro, representado por C = D
Considerando dois conjuntos A e B tem-se que:
Considerando dois conjuntos A e B tem-se que:
A ⊂ B, se e só se A ∩ B = A
A ⊂ B, se e só se A ∪ B = B
Informações
· Todo o conjunto está definido dentro de um universo, representado por U, E ou Ω
· Um conjunto sem elementos é designado conjunto vazio e representa-se por { } ou ∅
- Propriedades da interseção e reunião de conjuntos
· A ∩ U = A
U é o elemento neutro da interseção
· A ∩ { } = { }
{ } é o elemento absorvente da interseção
· A ∪ { } = A
{ } é o elemento neutro da reunião
· A ∪ U = U
U é o elemento absorvente da reunião
Propriedade comutativa da interseção e da reunião
Propriedade comutativa da interseção e da reunião
· A ∩ B = B ∩ A
· A ∪ B = B ∪ A
Propriedade associativa da interseção e da reunião
Propriedade associativa da interseção e da reunião
· (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
· (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Propriedade da idempotência da interseção e da reunião
Propriedade da idempotência da interseção e da reunião
· A ∩ A = A
· A ∪ A = A
Propriedade distributiva da interseção e da reunião
Propriedade distributiva da interseção e da reunião
· (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
· (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
Complementar de um conjunto
Complementar de um conjunto
· Ā = {x ∈ U : x ∉ A}
Consequentemente, tem-se que:
Consequentemente, tem-se que:
· A ∪ Ā = U
· A ∩ Ā = { }
Diferença entre A e B
Diferença entre A e B
Representada por A \ B, designa um conjunto cujos elementos pertencem ao conjunto A mas não ao conjunto B, dado pela expressão {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∉ B}. A diferença entre conjuntos pode também ser representada pela interseção do conjunto A com o complementar do conjunto B, A ∩ B̄.
Leis de De Morgan
Leis de De Morgan
____
· A ∪ B = Ā ∩ B̄
____
· A ∩ B = Ā ∪ B̄
- Propriedades do produto cartesiano
Propriedades do produto cartesiano
Propriedades do produto cartesiano
· (A ∪ B) x C = (A x C) ∪ (B x C)
· C x (A ∪ B)= (C x A) ∪ (C x B)
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