Eulero e la montagna: il teorema dei seni

A questo punto si esce dalla storia e il docente chiede agli studenti (che lavorano in gruppi paralleli) di rivedere tutto il percorso fatto e compilare un documento di riflessione collettiva (cfr. narrazione matematica), da consegnare.

Se nella classe è prassi applicare i teoremi ad un caso reale come prova di valutazione, allora gli studenti rientrano nella storia e si procede con la scena seguente:

Scena 5.1 La storia termina con il calcolo dell’altezza della montagna che Eulero e i quattro figli dovranno scalare. Dopo aver finito la dimostrazione del teorema, i ragazzi si interrogano su come usare il teorema per calcolare l’altezza della montagna! Eulero li esorta e poi li lascia lavorare da soli (scarica Vignetta 5.1, scarica Vignetta 5.2, scarica Vignetta 5.3).

Figure matematiche A seguire deve essere mostrato agli studenti un generico triangolo (scarica Figura 8, cfr. narrazione matematica).

Figura 8

La seguente scena chiude la storia (che gli studenti abbiano visto o meno l’applicazione del Teorema).

Scena 5.2 (Chiusura della storia) Appare una vignetta di chiusura della storia, dove si vedono Eulero e i suoi figli con gli zaini in spalla che si avviano verso la montagna (scarica Vignetta 5.4).

Tutti i gruppi lavorano allo stesso modo in parallelo, non ci sono più osservatori - valutazione collettiva sulla matematica.

Nella fase di Riflessione, gli studenti sono chiamati a una prova di valutazione collettiva.

Gli studenti dovranno ripercorrere tutti gli episodi della storia. Per farlo verrà fornito loro (in forma di foglio di lavoro condiviso) un documento di riflessione collettiva da completare (scarica template). Ci si aspetta che gli studenti possano fornire risposte simili alle seguenti (in corsivo):

Nell’Episodio 1 abbiamo analizzato i rapporti tra i lati e i seni degli angoli di triangoli particolari e abbiamo scoperto che i rapporti tra le misure dei lati ed i seni degli angoli opposti sono costanti.

Nell’Episodio 2 abbiamo nuovamente analizzato i rapporti tra i lati e i seni degli angoli di triangoli qualsiasi e abbiamo scoperto che ancora i rapporti tra lati e seni degli angoli opposti è costante. Ciò ci è servito per formulare una congettura e, quindi, per enunciare il Teorema dei seni in linguaggio naturale: “in un triangolo qualsiasi, il rapporto tra le misure dei lati ed i seni degli angoli opposti è costante/uguale”.

Nell’Episodio 3 abbiamo riformulato la congettura utilizzando il linguaggio matematico:

Nell’Episodio 4 abbiamo dimostrato il teorema in questo modo…. (ci si attende che ripercorrano in maniera consapevole i vari passi della dimostrazione).

In momento successivo, se nella classe è prassi applicare i teoremi ad un caso reale come prova di valutazione, gli studenti affrontano un’applicazione del Teorema dei seni in una situazione reale legata alla narrazione proposta. Gli studenti in gruppi paralleli dovranno risolvere un problema in cui dovranno applicare il teorema trovato e consegnarlo (come consegna di gruppo).

A titolo esemplificativo, di seguito viene proposto un problema legato alla storia.

Eulero e i figli hanno bisogno di calcolare l'altezza della montagna che vogliono scalare.

A tal fine modellizzano la montagna come un triangolo (SHV in Figura 8). La loro casa si trova nella posizione corrispondente al vertice C. Da qui, guardando la cima della montagna, misurano l'angolo alpha che la direzione del loro sguardo forma con l'orizzonte locale (il piano della strada). Analogamente, misurano l'angolo alpha', a partire dall'inizio del sentiero che li porta alla cima della montagna e che si trova nella posizione S. Misurano infine la distanza CS tra la casa e l'inizio del sentiero.