5. Conicógrafos
Un conicógrafo es un mecanismo con unos ajustes apropiados capaz de trazar secciones cónicas. Conscientes de la existencia de métodos para trazar cónicas como el del jardinero para el trazado de la elipse, mediante mecanismos punto a punto como los propuestos por Durero y Guido Ubaldo del Monte o mediante mecanismos de ruedas dentadas como el propuesto por La Hire, nos vamos a centrar en los mecanismos de barras articuladas mediante los cuales dichas secciones cónicas son obtenidas como trayectorias de puntos de las barras del mecanismo.
Secciones cónicas. (Fuente: Wikipedia)
A partir de una revisión histórica de estos mecanismos, se van a proponer actividades basadas en la manipulación de distintos conicógrafos para comprender su funcionamiento a la hora de generar elipses, hipérbolas o parábolas haciendo referencia a las propiedades geométricas y distintos elementos de las cónicas.
Recursos
En esta página obran los recursos necesarios para la realización de las actividades propuestas.
Además se ha realizado un gráfico interactivo (línea del tiempo) con un resumen de la evolución histórica de los conicógrafos presentes en este apartado.
Descripción de la actividad
Apolonio de Pérgamo (c. 262 - 190 a.C.) en su obra Sobre las secciones cónicas define y describe las propiedades fundamentales de estas curvas. Los geómetras de la escuela de Platón y todos los matemáticos posteriores, al estudiar este tipo de curvas, se preocuparon en buscar los medios adecuados para trazarlas.
Herramientas de Cinderella.2 para generar cónicas. (Fuente: Cinderella.de)
Actividad: El Sistema de Geometría Dinámica Cinderella.2 tiene unas herramientas mediante las cuales es posible generar cónicas dados algunos de sus elementos:
Traza la cónica que pasa por cinco puntos
Traza una elipse dados sus focos y un punto
Traza una hipérbola dados sus focos y un punto
Traza una parábola dado el foco y la directriz
La actividad va a consistir en utilizar esas herramientas para:
Trazar una elipse dados sus focos y un punto. Después, generar los ejes de la elipse. Con la herramienta medir distancia, hallar las distancias del punto de la elipse a los focos. Definir otro punto en la elipse, hallar las distancias de este punto a los focos y comprobar que la suma de distancias de un punto de la elipse a los focos es constante.
Trazar una hipérbola dados sus focos y un punto. Después, generar los ejes de la hipérbola y las asíntotas. Con la herramienta medir distancia, hallar las distancias del punto de la hipérbola a los focos. Definir otro punto en la hipérbola, hallar las distancias de este punto a los focos y comprobar que la diferencia de distancias de un punto de la hipérbola a los focos es constante.
Traza una parábola dado el foco y la directriz. Después, generar el eje de la parábola. Definir un punto en la parábola y con la herramienta medir distancia, comprobar que coinciden las distancias al foco y a la directriz.
Elipsógrafo atribuido a Proclo. (Fuente: Katalog mathematischer und mathematisch-physikalischer Modelle)
Centrándonos en mecanismos articulados capaces de trazar cónicas como trayectorias de un punto del mecanismo, se tiene constancia de un elipsógrafo de barras deslizantes atribuido a Proclo (410 - 485) consistente en dos barras rígidamente unidas con dos ranuras por las que se deslizan dos pivotes de una tercera barra. Cualquier punto de esta última barra traza una elipse.
Actividad: Construir en Cinderella.2 el esquema del elipsógrafo de Proclo según la siguiente figura:
teniendo en cuenta que:
el punto A desliza a través de la recta a
el punto B desliza a través de la recta b
|AB| = |CD|. Variando la medida del segmento CD, varía la del segmento AB
|AP| = |EF|. Variando la medida del segmento EF, varía la del segmento AP
Una vez realizada la construcción, variar las medidas de los segmentos CD y EF y describir lo que sucede.
El alumnado se puede apoyar en este canal de vídeos donde se muestra cómo realizar simulaciones de estos mecanismos con Cinderella.2.
Grabado original del compas parfait por Abou Sehl Ouîdjen. (Fuente: Trois traités arabes sur le compas parfait. F. Wöpcke)
Por otro lado, Proclo habla de un compás para trazar parábolas de Isidoro de Mileto. Hay constancia de un compas parfait para dibujar cónicas por parte de los matemáticos Ahmed Ibn Mohammed Ibn Abdel-Djelîl es-Sidjzi (siglo IX), Abou Sehl Ouîdjen Ibn Ouesten el-Kouhi (siglo X) y Mohammed Ibn Hoceïn (siglo XI). Consiste en un compás en el que uno de los brazos llevaba una punta trazante, que podía alargarse a voluntad por medio de un resorte, de modo que siempre se apoyase en el papel, mientras que el otro brazo se fijaba oblicuamente en el plano del papel. Este instrumento se volvió a descubrir por varios autores de la Edad Media y fue propuesto para resolver los problemas de la gnomónica.
Actividad: En este enlace, se tiene una descripción en portugués de dicho compas parfait además de una presentación dinámica (applet) de su funcionamiento. La actividad consiste en realizar una traducción de dicha página así como de replicar en Cinderella.2 el funcionamiento dinámico del mecanismo.
Hiperbológrafo de Descartes. (Fuente: Geometríe)
Tenemos que llegar a la época de Descartes para encontrar mecanismos articulados capaces de trazar cónicas. Descartes es el primero que considera estudiar las curvas cinemáticamente aunque sólo da un ejemplo para las cónicas, en particular para una hipérbola.
Es Franz van Schooten el joven (1615 - 1668) quien, en su tratado De organica conicarum sectionum in plano descriptione tractatus publicado en 1675, presenta seis mecanismos para dibujar cónicas:
Conicógrafos de Van Schooten. (Fuente: De organica conicarum sectionum in plano descriptione tractatus)
Generaliza el teorema de Proclo reemplazando el ángulo recto por un ángulo cualquiera, propone un elipsógrafo compuesto por un compás de lados iguales (1), otro elipsógrafo formado por un antiparalelogramo (2) y un hiperbológrafo (3) basado en la definición habitual de hipérbola como lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos es constante. Van Schooten también diseña tres aparatos (4, 5 y 6) para trazar cada una de las tres cónicas con rombos articulados.
Actividad: Tomando como base el libro original de Franz von Schooten De organica conicarum sectionum in plano descriptione tractatus, construir en Cinderella.2 los conicógrafos 1, 2 y 3 de la imagen anterior.
Actividad: en los siguientes enlaces:
elipsógrafo (4)
hiperbológrafo (5)
parabológrafo (6)
se presentan tres construcciones dinámicas correspondientes a los tres conicógrafos de van Schooten basados en rombos articulados respetando la notación original:
Estudiar el funcionamiento de los tres conicógrafos cambiando la posición de los puntos y las medidas de las barras realizando un pequeño informe.
Actividad: relacionando estos mecanismos con las ecuaciones de las cónicas:
Descargar la construcción y disponer el elipsógrafo de forma que la curva que genere coincida con la elipse de ecuación
Descargar la construcción (Cinderella.2)
Descargar la construcción y disponer el hiperbológrafo de forma que la curva que genere coincida con la hipérbola de ecuación
Descargar la construcción (Cinderella.2)
Descargar la construcción y disponer el parabológrafo de forma que la curva que genere coincida con la parábola de ecuación
Descargar la construcción (Cinderella.2)
En las construcciones anteriores, se puede cambiar la imagen de fondo para insertar otras cónicas generadas por ecuaciones algebraicas distintas de cara a estudiar la posición en el plano de los focos, la directriz, etc. La imágenes de las cónicas generadas por ecuaciones han sido obtenidas con la calculadora gráfica online Desmos.
Página del Elementa Curvarum Linearum de Johan de Witt. (Fuente: Biblioteca Virtual do Patrimonio Bibliográfico)
El tratado más sistemático y completo acerca de la generación mecánica de cónicas es el Elementa Curvarum Linearum de Johan de Witt (1625 - 1672), jurista y matemático holandés, íntimo amigo de van Schooten. En su Elementa Curvarum Linearum, publicado originalmente como apéndice a la segunda edición latina de van Schooten de la Geometría de Descartes, de Witt describe varios mecanismos para construir cónicas. Uno de ellos es el conocido elipsógrafo de barras deslizantes atribuido a Proclo - Leonardo con la demostración de que describe una elipse. Además, propone la construcción de un hiperbológrafo mediante una barra giratoria y otra deslizante.
Conicógrafo de Bogulavskii basado en la idea de Newton. (Fuente: Mechanisms for the Generation of Plane Curves. Artobolevskii, I. I.)
Llegamos a la época de Isaac Newton (1642 - 1727) que también estudió la manera de construir mecánicamente las cónicas obteniendo el teorema:
Si dos ángulos giran alrededor de sus vértices y la intersección de dos lados describe una recta entonces la intersección de los otros dos lados describe una cónica.
Cabe citar que el conicógrafo de Boguslavskii descrito por Artobolevskii en su enciclopédico Mechanisms for the generation of planes curves de 1964, está basado en este resultado.
Vemos que, hasta esta época, los principios teóricos utilizados el diseño de conicógrafos eran las propiedades de las secciones cónicas. Llegamos a 1864 cuando Charles-Nicolas Peaucellier (1832 - 1913), capitán de ingenieros del ejército francés y antiguo alumno de la Ecole Polytechnique en una carta al editor de Nouvelles Annales de mathématiques (ser. 2, vol. 3, pp. 414-415) de París propone construir un compas compose que trace rectas, circunferencias de cualquier radio por grande que sea y cónicas. Cabe recordar que Peaucellier es el artífice del primer sistema articulado capaz de dibujar en el plano una línea recta mediante un mecanismo de siete barras que transforma un movimiento circular en uno rectilíneo llamado inversor de Peaucellier. Este mecanismo atrajo la atención del matemático inglés James Joseph Sylvester (1814 - 1897) el cual, con otros colegas ingleses, ideó una gran cantidad de mecanismos articulados destinados al trazado de distintas curvas, cónicas en particular.
A. B. Kempe (1849 - 1922) demostró que cualquier curva algebraica puede trazarse mediante un sistema articulado. Para ello utiliza una combinación de mecanismos llegando a tal grado de complicación que él mismo propone la búsqueda de métodos más sencillos para describir las curvas. Así, Kempe obtiene elipsógrafos de ocho barras articuladas y Peaucellier un elipsógrafo de diez barras.
Conicógrafo general presentado por R. C. Yates. (Fuente: Curves and their properties)
Robert C. Yates (1904-1963), ingeniero norteamericano, en su libro Curves and their properties (pp. 51-52), presenta un mecanismo articulado general para construir cónicas combinando un antiparalelogramo (inversor de Hart) y uno de Peaucellier. En el libro de texto Tools: A Mathematical Sketch and Model Book (pp. 174-175) , desarrolla dicho mecanismo para construir una elipse, una hipérbola y una parábola:
Conicógrafos de Yates. (Fuente: Tools: A Mathematical Sketch and Model Book)
Actividad: tomando cono base los textos de R. C. Yates que acabamos de citar, realizar las simulaciones interactivas de los conicógrafos de Yates en Cinderella.2.
Vinculación curricular
Las cónicas aparecen en el currículo de Bachillerato en las asignaturas de Matemáticas y de Dibujo Técnico. Por otro lado, el estudio histórico de los conicógrafos contribuye a uno de los objetivos generales de la enseñanza de las Ciencias Sociales, Geografía e Historia en la etapa de Secundaria: identificar y localizar en el tiempo y en el espacio los procesos y acontecimientos históricos relevantes de la historia del mundo, de Europa y de España para adquirir una perspectiva global de la evolución de la Humanidad y elaborar una interpretación de la misma que facilite la comprensión de la pluralidad de comunidades sociales a las que se pertenece.
Además, en esta propuesta se hace hincapié en que estos mecanismos contribuyeron de forma notable a la creación por parte de Descartes de la Geometría Analítica. El que el alumnado conozca este hecho así como del estudio de la relación entre la generación mecánica y las ecuaciones de las cónicas, ayuda a la comprensión del significado de dichas ecuaciones.
Referencias:
The Ellipsograph of Proclus. E. M. Blake
Trois traités arabes sur le compas parfait. F. Wöpcke
The Geometry of René Descartes. Dover Publications, 1954
De organica conicarum sectionum in plano descriptione tractatus
Tools: A Mathematical Sketch and Model Book
1. A LA CAZA DE MECANISMOS ARTICULADOS
3. CONSTRUYENDO MECANISMOS EN CINDERELLA.2