7. En busca de la sencillez

A comienzos del siglo XX la situación es tal que se puede generar un mecanismo articulado para cada curva algebraica mediante un método general pero este método de Kempe es como matar moscas a cañonazos. En palabras del propio Kempe:

There is a way of drawing any given case; and the variety of methods of expressing particular functions that have already been discovered renders it in the highest degree probable that in every case a simpler method can be found. There is still, therefore, a wide field open to the mathematical artist to discover the simplest linkworks that will describe particular curves.

En la búsqueda de mecanismos articulados lo más simple posibles que trazan algunas curvas, tenemos a Robert C. Yates (1904-1963) ingeniero estadounidense que en 1941 publica una tratado con ejercicios de Geometría para futuros profesores de Matemáticas en el que hace un estudio de distintas curvas y propone una serie de mecanismos articulados muy sencillos que describen algunas de ellas. Posteriomente, en 1947 publica un libro de texto con un estudio más detallado de todas estas construcciones. En ellas combina de forma ingeniosa el mecanismo de Watt y los inversores de Peaucellier y Hart para obtener distintas curvas.

Mecanismo articulado para trazar la cardioide. (Fuente: A Handbook on Curves and their Properties (1947). Robert C. Yates)

En el siguiente vídeo vemos un mecanismo para dibujar la cardioide que es una epicicloide generada por un punto de una circunferencia de radio a que gira tangente alrededor de otra circunferencia de radio a.

Descargar la construcción (Cinderella.2)

El mecanismo consiste en dos inversores de Hart ABDO y BDCP con A y O fijos de medidas:

Además:

Como en todo momento los ángulos PCO y COX son iguales, cuando el vértice B gira alrededor de A, el punto P describe la cardioide.

Yates propone un mecanismo para dibujar curvas de Cassini, descritas por Giovanni Domenico Cassini (1625 -1712) al estudiar los movimientos relativos de la tierra y el sol. También se conocen como óvalos de Cassini.

Mecanismo articulado para trazar óvalos de Cassini. (Fuente: A Handbook on Curves and their Properties (1947). Robert C. Yates)

Las curvas de Cassini son curvas que se obtienen a partir de dos focos fijos F₁ y F₂, siendo constante el producto de las distancias desde cualquier punto P de la curva a los focos, es decir, F₁ · F₂ = k. El mecanismo tiene dos vértices fijos A y A' y los puntos P y P' describen la curva cuando D gira alrededor de A siendo las medidas de las barras:

AD = AO = a

DC = CQ = EO = OC = c/2

CP = PE = EP' = P'C = d

Si las coordenadas de Q y P son

respectivamente, como O, D y Q pertenecen a la circunferencia de centro C y radio c/2, las líneas DO y OQ son perpendiculares. Así:

El mecanismo de Peaucellier CPEQ invierte el punto Q al punto P cumpliéndose que:

Eliminando ρ de las ecuaciones anteriores:

que, en coordenadas cartesianas es:

que define una curva de Cassini si:

En el siguiente vídeo podemos ver el mecanismo en funcionamiento:

Descargar la construcción (Cinderella.2)

Para trazar la cisoide de Diocles, Yates propone un mecanismo que, básicamente, consiste en un inversor de Peaucellier al que se le transmite un movimiento circular al vértice que estaba fijo cuando se usaba para dibujar la línea recta, manteniendo fijo el que recibía dicho movimiento circular.

Mecanismo articulado para trazar la cisoide de Diocles. (Fuente: A Handbook on Curves and their Properties (1947). Robert C. Yates)

Variando las dimensiones de las barras, este mecanismo permite dibujar la familia de las cisoides.

Descargar la construcción (Cinderella.2)

Es interesante la idea de Yates de utilizar el inversor de Peaucellier y aplicarle un movimiento circular al vértice que no genera la línea recta. esto abre la posibilidad de usar el inversor y aplicarle otros movimientos (elipse, parábola,...) de cara a estudiar las curvas obtenidas por este método.

Conicógrafos de Yates obtenidos al combinar un mecanismo de Watt con un inversor de Peaucellier o de Hart. (Fuente: Tools: A Mathematical Sketch and Model Book (1941) by Robert C. Yates)

Por último, Yates hace un estudio para obtener un conicógrafo general combinando un mecanismo de Watt con un inversor de Peaucellier o de Hart (Tools: A Mathematical Sketch and Model Book (1941) by Robert C. Yates pp. 172 - 175). En el siguiente vídeo, vemos el parabológrafo obtenido mediante este sistema general.

Descargar la construcción (Cinderella.2)

En 1964 Iván Ivánovich Artobolevski (1905 - 1977), ingeniero mecánico y científico ruso y primer presidente de la Federación Internacional de Teoría de Máquinas y Mecanismos, publica un libro titulado Teoría de mecanismos para la generación de curvas planas donde, además de generalizar el trabajo de sus predecesores, desarrolla una teoría para el compendio de mecanismos para la generación de curvas planas.

Conicógrafo de Bogulavskii basado en la idea de Newton. (Fuente: Mechanisms for the Generation of Plane Curves. Artobolevskii, I. I.)

Este método para la búsqueda de las soluciones más simples se obtiene del estudio de las propiedades geométricas individuales de cadenas cinemáticas (mecanismos articulados) combinado con las propiedades analíticas y geométricas de las curvas a generar como trayectorias de dichos mecanismos. Artobolevski lo llama método geometro-algebraico ya que combina métodos geométricos de construcción con el análisis teórico de curvas algebraicas y transcendentes (Preface to de English edition). Además expone su teoría para la generación de mecanismos de cónicas, curvas algebraicas de grado tres y cuatro y de algunos casos de curvas algebraicas de grado mayor que cuatro además de algunas curvas transcendentes incidiendo en la importancia de la sencillez de los mecanismos:

We shall not examine the many others mechanisms [...] since it is considered that mechanisms containing from four to eight or ten links serve as a basis for practical application. Mechanisms with a large number of links prove scarcely suitable for operation, chiefly through lack of accuracy.

En esta búsqueda en el siglo XX de mecanismos los más sencillos posible para el trazado de curvas, toman especial importancia los de cuatro barras articuladas debido a la economía en su construcción (y mantenimiento), mínimas vibraciones y a las múltiples posibilidades que ofrecen.

Mecanismo articulado de cuatro barras (4-bar linkage). (Fuente: Wikipedia)

Un mecanismo de cuatro barras consiste en tres barras móviles y una cuarta fija (por ejemplo el suelo). El movimiento circular lo genera la manivela transmitiéndose por medio de la biela al balancín. En este estudio ya hemos visto unos cuantos casos particulares de este tipo de mecanismos (Watt, Roberts, Hart, Chevyshev) que se consideraban de tres barras ya que no se contaba la fija (del suelo). Hoy en día es común contar con dicha barra para que el mecanismo sea considerado como una cadena cinemática cerrada, concepto desarrollado por el ingeniero alemán Franz Reuleaux en su Teoretishe Kinematik de 1875.

La amplitud de los movimientos del mecanismo, viene establecida por la Ley de Grashof que establece que:

un mecanismo de cuatro barras tiene al menos una articulación de revolución completa si y solo si la suma de las longitudes de la barra más corta y la barra más larga es menor o igual que la suma de las longitudes de las barras restantes.

Curvas pareadas (coupler curves) generadas por un mecanismo de cuatro barras articuladas. (Fuente: Curves from Motion, Motion from Curves. Rida T. Farouki)

Si a la biela de un mecanismo de cuatro barras le añadimos un triángulo, cuando gira la manivela el vértice de dicho triángulo que no está en la biela traza una curva llamada coupler curve o curva pareada. El motivo de este nombre es debido a que un mismo mecanismo cuando cumple la condición de Grashof, puede trazar dos curvas en función de la configuración del cuadrilátero. Los mecanismos que no cumplen dicha condición, generan una única curva.

En el siguiente vídeo, podemos ver un mecanismo articulado de 4 barras que describe una única curva.

Descargar la construcción (Cinderella.2)

En este vídeo, tenemos el mismo mecanismo de 4 barras en sus 2 configuraciones generando las 2 curvas pareadas.

Descargar la construcción (Cinderella.2)

Estos mecanismos de cuatro barras dan lugar una gran variedad de trayectorias. Por ejemplo, el atlas de Hrones y Nelson cataloga alrededor de 7000 trayectorias diferentes generadas por estos mecanismos. Así, en Ingeniería, dada una trayectoria específica, muchas veces es necesario generar el mecanismo que la genere exactamente. Otras veces, es suficiente trazar una aproximación con el mayor grado de exactitud posible. Por ejemplo, Ferdinand Freudenstein da un sistema para aproximar con cualquier grado de exactitud el trazado de una curva mediante un sistema articulado de cuatro barras.

Todas estas trayectorias generadas por mecanismos articulados de cuatro barras son (partes de) curvas algebraicas de grado seis. Por otro lado, una propiedad de las curvas pareadas viene dada por el teorema de Roberts-Chevyshev que establece que una misma curva pareada puede ser generada por tres mecanismos de cuatro barras diferentes llamados mecanismos cognados. Esto no es sólo una curiosidad matemática ya que una vez que una trayectoria es generada por un mecanismo, uno de sus cognados puede tener mejores características para la transmisión de fuerzas, algo esencial en Ingeniería.

Todas estas consideraciones abren un interesante campo de estudio e investigación además de ofrecer múltiples posibilidades de aplicación al aula que ampliamos en el apartado "propuestas didácticas".