3. La Geometría de Descartes

En nuestro recorrido histórico sobre mecanismos articulados, llegamos al siglo XVII donde una figura prevalece sobre las demás: René Descartes (1596 - 1650). A principios de este siglo fue posible representar una gran variedad de conceptos aritméticos y relaciones gracias al recién nacido lenguaje algebraico. Cuestiones acerca de formas apropiadas de representación dominaron la actividad intelectual de este siglo, no solo en Ciencia y Matemáticas sino también en religión, política, leyes y discusiones filosóficas. Señalar, en este sentido, que la Geometría de Descartes fue originalmente publicado como apéndice a su obra filosófica El discurso del método.

Portada de la Geometría. (Fuente: Wikipedia)

Descartes es señalado como el padre de la geometría analítica pero no hay en la Geometría gráfica de ecuación alguna. Las curvas eran construidas por acciones geométricas la mayor parte de las cuales eran representadas mediante instrumentos mecánicos. Una vez dibujadas las curvas, Descartes introducía el sistema de coordenadas para analizar el proceso de construcción de la curva y obtener una ecuación que representara dicha curva. Así, las ecuaciones no creaban las curvas; éstas generaban ecuaciones. Lo que hizo Descartes fue usar las ecuaciones para realizar una clasificación de las curvas.

Durante el siglo XVII se produjo un cambio de rumbo desde la orientación geométrica clásica griega vigente en el Renacimiento hacia una visión filosófica romana mucho más pragmática. En esta época, una clase de Geometría trataría sobre fortificaciones, máquinas de asedio, canales, sistemas de riego o mecanismos elevadores. La Geometría no habla de construcciones estáticas ni de pruebas axiomáticas sino de movimientos mecánicos y su posible representación mediante ecuaciones algebraicas. Se citan muchos problemas clásicos transformados en problemas de locus (trayectorias producidas por movimientos contínuos) gracias al uso de una gran variedad de movimientos y mecanismos que iban más allá de las construcciones clásicas con regla y compás. Descartes, tras leer a Pappus, aprendió que los antiguos geómetras griegos consideraron tres clases de problemas en función de la construcción usada para su resolución: las construcciones con regla y compás se llamaron planas mientras que las que incluían secciones cónicas o construcción de dos medias proporcionales se llamaron sólidas. Las construcciones incluidas en estas dos clases fueron consideradas puramentes geométricas mientras que las de la tercera que incluía curvas que sólo se podían construir con algún ingenio mecánico, fueron excluidas de la Geometría. Descartes pensó en construir una Geometría que incluyera todas esas curvas construidas mediante mecanismos articulados, es decir, instrumentos hechos con barras articuladas. Supuso que esta clase de curvas constituía la de las curvas algebraicas pero no lo demostró.

Mesolabio de Descartes. (Fuente: Geometríe)

El primer mecanismo articulado que aparece en la Geometría (Libro II) es el mesolabio a sazón de un comentario sobre el rechazo de los antiguos geómetras griegos a curvas más complejas que las cónicas cuando se encontraron con curvas como la espiral, la cuadratriz, la concoide y la cisoide. El mecanismo consta de dos barras que se articulan en un punto. Uno de ellos está fijo pero todos los demás son móviles manteniéndose únicamente la ortogonalidad de las barras transversales.

En el siguiente vídeo puede verse un esquema del movimiento del mecanismo:

Descargar la construcción (Cinderella..2)

El aparato tiene una doble finalidad:

- Los triángulos ABC, ACD, ADE, AEF, AFG y AGH son semejantes por lo que tenemos:

Es decir, es la curva cuártica (muy parecida a la cuadratriz):

Hiperbológrafo de Descartes. (Fuente: Geometríe)

El segundo de los mecanismos que aparece en la Geometria es un hiperbológrafo descrito por el propio Descartes:

Sea la curva EC descrita por la intersección de la barra GL con la figura rectilínea NKL cuyo lado KN es generado indefinidamente en dirección a C y que, movido en el mismo plano de manera que su diámetro KL coincide siempre con parte de la línea AB, proporciona a la barra GL un movimiento giratorio alrededor de G (la barra está unida a la figura NKL en L). Si quiero encontrar a que clase pertenece esta curva, elijo una línea recta, como AB, y en ella elijo un punto A por el que empezar la investigación. Digo 'escojo esto y esto' porque somos libres de elegir los que queramos para hacer la ecuación los más corta y simple posible y no importa qué recta escoja en vez de la AB ya que la curva será siempre de la misma clase como es facilmente demostrable.

En el siguiente vídeo puede verse un esquema del movimiento del mecanismo:

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Así, Descartes asegura que el grado de la ecuación que describe la curva es independiente del sistema de coordenadas elegido. Para encontrar la ecuación que describe esa curva, procede de la siguiente forma: introduce las variables AB = y, BC = x y las constantes GA = a, KL = b y NL = c. Como los triángulos KLN y KBC son semejantes, tenemos:

De aquí, se tiene que:

Como los triángulos LBC y LAG son semejantes:

de donde obtenemos:

Entonces:

Descartes dejó así la ecuación ya que quería enfatizar que era de segundo grado concluyendo que era una hipérbola: comme en effect elle n'est autre qu'une Hyperbole.

Vemos entonces que las curvas se generan a partir de mecanismos. El hiperbológrafo descrito sólo es el comienzo de un método descrito por Descartes donde las construcciones para dibujar curvas pueden ser iteradas progresivamente para generar progresivamente curvas de mayor y mayor grado simplemente cambiando el triángulo KLN por cualquier curva construida previamente. Así, Descartes clasificó las curvas de acuerdo a pares de grados algebraicos; por ejemplo, las rectas y las cónicas constituían la primera clase (usó el término género), las de tercer y cuarto grado la segunda clase, etc. Esta clasificación es completamente natural cuando uno está trabajando con mecanismos articulados y trayectorias (locus). Con cada iteración de mecanismos, el grado de las curvas aumenta en dos con algunos casos especiales donde aparecen curvas de grado impar. Se abre así un camino para generar curvas de cualquier grado de forma mecánica.

Elipsógrafo de van Schooten. (Fuente De Organica Conicarum Sectionum In Plano Descriptione, Tractatus)

Destaca entonces la figura del holandés Franz von Schooten el joven (1615 - 1668) el cual en su tratado De organica conicarum sectionum in plano descriptione tractatus publicado en 1675, presenta seis mecanismos para dibujar cónicas. Von Schooten tradujo al latín y comentó la Geometría de Descartes dándola a conocer a toda la comunidad matemática.

Un primer mecanismo es un elipsógrafo. Aunque aparentemente distinto al de Proclus-Leonardo, está basado en el mismo principio. En el siguiente vídeo puede verse en funcionamiento:

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Si tomamos dos barras de la misma longitud OP y PQ articuladas en P y sujetas por O a una barra fija por la que se desliza Q, cualquier punto X de la barra PQ, diferente de sus extremos, describe una elipse.

Además, Van Schooten propone otro elipsógrafo:

Segundo elipsógrafo de van Schooten. (Fuente De Organica Conicarum Sectionum In Plano Descriptione, Tractatus)

compuesto por un contraparalelogramo articulado formado por tres barras HG, IF y FG cumpliéndose que las barras HG e IF son de igual longitud y la distancia entre los vértices H e I es igual a la medida de la barra FG. Los vértices H e I son fijos. Así, el punto de intersección E de las barras HG e IF traza una elipse de focos H e I cuando la barra HG gira con centro el vértice H.

Mecanismo para trazar hipérbolas basado en la definición habitual. (Fuente De Organica Conicarum Sectionum In Plano Descriptione, Tractatus)

Otro mecanismo es un hiperbológrafo que ya está basado en la definición habitual de hipérbola como lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos es constante. En la siguiente animación, los puntos A y B son fijos. La distancia AB coincide con PQ y AP = BQ. Además, XP = XB por lo que: XA - XB = XA - XP = AP que es constante y el punto X traza una hipérbola:

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Van Schooten construyó también tres tipos de compases deslizantes basados en el siguiente resultado:

Si un rombo articulado ABCD tiene fijo el punto A y el punto C se mueve en una circunferencia centrada en otro punto O, el punto de corte de la recta OC con la diagonal del rombo BD describe una cónica.

Compases delizantes (conicógrafos) de van Schooten. (Fuente De Organica Conicarum Sectionum In Plano Descriptione, Tractatus)

En los siguientes vídeos pueden verse los mecanismos que, bajo este principio, trazan una elipse, una hipérbola y una parábola.

Descargar la construcción (Cinderella.2)

Descargar la construcción (Cinderella.2)

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El estudio más completo y sistemático sobre cónicas lo realiza Johann de Witt (1625 - 1672), jurista y matemático holandés, íntimo de van Schooten. En su Elementa Curvarum Linearum, publicado originalmente como apéndice a la segunda edición latina de van Schooten de la Geometría de Descartes, de Witt describe varios mecanismos para construir cónicas. Uno de ellos es el conocido elipsógrafo de barras deslizantes atribuido a Proclo-Leonardo con la demostración de que describe una elipse.

Johan de Witt cuyo linchamiento se narra al comienzo del Tulipán negro de Dumas. (Fuente: Wikipedia)

Esta forma de ver las curvas como resultado de movimientos mecánicos también puede verse en trabajos de Roberval (1602 -1675), Pascal (1623 - 1662) y Leibniz (1646 - 1716). Los mecanismos articulados para dibujar curvas jugaron un papel fundamental en la creación de nuevos lenguajes simbólicos (el cálculo, por ejemplo). Las tangentes, áreas y longitudes de arcos eran conocidas antes de que se escribiera ecuación algebraica alguna. A finales del siglo XVII, la necesidad de aparatos para construir curvas de grado tres y cuatro se hizo necesaria de cara a la 'algebrización' y resolución de numerosos problemas prácticos. Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647) en su Geometria indivisibilibus continuorum quadam nova ratione promota publicado en 1635, hizo de la resolución de tres problemas un asunto capital: la cuadratura, el trazado de tangentes y la rectificación de curvas.

Una curva captó la atención y el trabajo de numerosos matemáticos de la época: la cicloide, la curva mecánica por antonomasia. Ya conocida por Hiparco en el siglo II a.C. y estudiada por Durero, su nombre y definición lo debemos a Galileo Galilei (1564 - 1643). Su alumno Evangelista Torricelli (1608 - 1647) publicó en 1644 su tratado sobre el movimiento Opera geometrica sobre propiedades de las cicloides al tiempo que Gilles de Roberval (1602 - 1675) que también diseñó un método muy general de dibujar tangentes, considerando una curva descrita por un punto móvil cuyo movimiento es el resultado de varios movimientos simples. Gérard Desargues (1591 - 1661) diseñó un sistema para elevar agua que fue instalado en el Château of Beaulieuen en las cercanías de París fundamentado en el principio de la rueda epicicloidal. Los mecanismos articulados para la construcción de estas curvas estaban basados en engranajes con ruedas dentadas como mostró De la Hire (1640 - 1718) en su Traité des épycicloides et leus usage dans les mécaniques publicado en 1699. También Huygens (1629 - 1695) en sus estudios sobre el péndulo, calculó la evoluta de muchas curvas, en especial, de la cicloide y las cónicas.

Referencias: