3. Construyendo mecanismos en Cinderella.2
Con el Sistema de Geometría Dinámica Cinderella.2 se pueden crear simulaciones interactivas de mecanismos articulados así como de la curva generada por la trayectoria seguida por un punto del mecanismo (locus). En esta actividad se pretende que el alumno realice simulaciones en Cinderella.2 de distintos mecanismos articulados. Se van a proponer algunos pero queda abierta la posibilidad de realizar más construcciones.
Recursos
En http://vimeo.com/channels/732336 hay un canal de videotutoriales acerca de la utilización básica del programa Cinderella.2 para la creación de mecanismos articulados. Se propone la visualización de dichos vídeos por parte del alumnado siguiendo la numeración correspondiente y la creación en Cinderella.2 de los mecanismos presentados.
Desde http://www.cinderella.de/tiki-index.php se puede descargar una versión gratuita del programa Cinderella.2.
Descripción de la actividad
Se trata de que el alumnado construya una serie de mecanismos articulados y las curvas que generan mediante el sistema de Geometría Dinámica Cinderella.2 y complemente dichas construcciones con pequeñas investigaciones relativas al mecanismo en cuestión.
Se puede empezar con construcciones sencillas como un mecanismo de biela manivela, uno de tres barras (ver vídeos) o un paralelogramo y un contraparalelogramo. También es interesante construir el mecanismo de Peaucellier que traza una línea recta complementando esta construcción con un pequeño estudio por parte de los alumnos sobre la historia de este mecanismo y la geometría que hay detrás de esta construcción para hacer lo que hace. Avanzando en la complejidad de los mecanismos, vamos a proponer unos cuantos más.
Mecanismo de tres barras que traza la lemniscata de Bernouilli
Es un mecanismo articulado de tres barras AB, BC y CD. Los puntos A y D son fijos y el punto B genera el movimiento girando alrededor de A. La trayectoria del punto L es la que genera la curva.
Sus medidas cumplen que:
siendo L el punto medio del segmento BC.
Para su construcción se van a necesitar barras de dos tipos, una con medida a y otra con medida
que habrá que construir previamente. Vemos aquí la necesidad de unos mínimos conocimientos geométricos para realizar esta construcción.
Esta construcción se puede complementar con el estudio de la ecuación de la lemniscata de Bernouilli y el porqué un mecanismo de este tipo y con estas medidas la genera. En este artículo se puede encontrar información al respecto. Además, la lemniscata de Bernouilli es una curva muy interesante que cumple una serie de propiedades que pueden ser aprovechadas para complementar esta actividad como investigación por parte de los alumnos.
Inversor de Hart para trazar una línea recta
Si el mecanismo de Peaucellier consta de siete barras y traza una línea recta, el mecanismo de Hart hace lo mismo solamente con cinco. Consiste en un contraparalelogramo de cuatro barras iguales dos a dos que transforma un movimiento circular en uno rectilíneo aplicando una inversión como la del mecanismo de Peaucellier. Es por esto por lo que a los mecanismos de Peaucellier y Hart se les conoce como inversores.
Este mecanismo consta de cinco barras AB, BC, CD, AD y OM. Los puntos O y P son fijos y el punto M genera el movimiento girando alrededor de O. El punto L describe una línea recta.
Sus medidas cumplen que:
Cardioide: una curva con corazón
La cardioide es una curva llamada así por su semejanza con el dibujo de un corazón. Vamos a proponer dos mecanismos articulados que la dibujan.
El primero de ellos fue ideado por el ingeniero estadounidense Robert C. Yates (1904-1963). Es un mecanismo articulado de cinco barras AB, BD, CD, CP y BP. Los puntos A y O son fijos y el punto B genera el movimiento girando alrededor de A. La trayectoria del punto P genera la la cardioide.
Sus medidas cumplen que:
donde
En este caso, vamos a necesitar barras de tres medidas distintas siendo la medida de una de ellas la media proporcional de las otras dos.
El otro mecanismo propuesto es el de la siguiente imagen:
Consta de cinco barras AB, BC, CF, FL y LE . Los puntos A y D son fijos y el punto B genera el movimiento girando alrededor de A. La trayectoria del punto L genera la cardioide.
Sus medidas cumplen que:
donde
Si nos fijamos en este mecanismo, podemos observar que consiste en dos contraparalelogramos ABCD y CFLE combinados. La barra AD en realidad es fija y no interviene en el movimiento del mecanismo.
Tanto en esta construcción como en la anterior se puede complementar la actividad estudiando la ecuación de la cardioide en polares y tratando de demostrar porqué estos mecanismos generan esta curva.
Otros mecanismos
Además de la construcción de los mecanismos que acabamos de proponer, se puede realizar por parte del alumnado cualquier otra construcción del presente estudio correspondiente al apartado de evolución histórica de los mecanismos articulados.
Vinculación curricular
En las actividades propuestas en este apartado, vemos como las explicaciones acerca del funcionamiento del programa Cinderella.2 se realizan mediante videotutoriales. Estos vídeos los puede ver el alumno en casa de forma que es en el aula cuando realiza las tareas y tiene al docente a su disposición para resolver las dudas que se le puedan plantear. Además, esas dudas suelen surgir cuando se realizan las actividades. Este cambio de planteamiento metodológico en el que el docente deja de ser un mero transmisor oral de información a un grupo de sujetos pasivos receptores de esa información y en el que las tareas activas se mandan como deberes para casa, recibe el nombre de Flipped Classroom, es decir, la clase invertida o clase al revés. La realidad nos muestra que los alumnos son voraces consumidores de vídeos en Internet. La tecnología permite hoy en día que cualquier docente con conocimientos mínimos de informática realice videotutoriales y los pueda subir a un canal de Internet para que los alumnos realicen su visionado en cualquier sitio y cualquier lugar (aprendizaje ubicuo 24/7) para que el aula se convierta en un espacio de aprendizaje activo donde el docente deja de ser el protagonista pasando dicho protagonismo al alumnado.
Por otro lado, el que el alumno se enfrente al reto que supone la realización de este tipo de construcciones interactivas, desarrolla la competencia de aprender a aprender definida en la legislación como disponer de habilidades para iniciarse en el aprendizaje y ser capaz de continuar aprendiendo de manera cada vez más eficaz y autónoma de acuerdo a los propios objetivos y necesidades.
Respecto al conjunto de conceptos geométricos y matemáticos tratados en esta propuesta, podemos citar:
- Punto, recta, circunferencia
- Proporcionalidad de segmentos
- Paralelogramos
- Inversión
- Cónicas, cardioide, lemniscata de Bernouilli
- Coordenadas polares
El docente debe ser el encargado de usar estas actividades para realizar las explicaciones acerca de estos (y otros) conceptos complementando sus explicaciones y tareas con esta propuesta.
Relacionado con otras asignaturas, vemos que el manejo básico del programa Cinderella.2 tiene una relación directa con la asignatura de Dibujo Técnico. Además, la posibilidad de relacionar históricamente la invención de estos mecanismos con la Historia Universal (línea recta y la máquina de vapor) da lugar a una interesante serie de actividades a realizar de forma interdisciplinar en el aula.
Referencias:
A Handbook on Curves and their Properties (1947). Robert C. Yates
Tools: A Mathematical Sketch and Model Book (1941). Robert C. Yates
1. A LA CAZA DE MECANISMOS ARTICULADOS
