Linkages: mecanismos articulados para trazar curvas

4. Newton y la generalización de las construcciones

En los trabajos matemáticos de Isaac Newton (1642 - 1727) hay referencias a mecanismos que dibujan curvas. En su Enumeratio Linearum Tertii Ordinis describe setenta y dos tipos de curvas de tercer grado y las clasifica en 5 tipos. Esta clasificación fue criticada posteriormente por otros matemáticos como Euler por carecer de un principio general.

Clasificación de Newton de curvas de tercer grado. (Fuente: Enumeratio linearum tertii ordinis : sequitur illustratio ejusdem tractatus (1797) . Sir Isaac Newton)

Newton ideó un mecanismo articulado muy sencillo para la construcción de dos curvas de tercer grado: la cisoide y la estrofoide. En el siguiente vídeo puede verse el esquema y el movimiento del mecanismo:

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El sistema EFGH está formado por dos barras fijas ortogonales EF y GH. La parte móvil está formada por dos barras fijas rígidas AB y BC formando un ángulo recto. Este sistema se mueve de forma que el vértice A desliza a través del eje EF y la barra BC pasa por el punto fijo D de la barra GH siendo HD=AB. Entonces, el punto B describe la estrofoide (en morado) y el punto medio M de la barra AB describe la cisoide (en negro).

Mecanismo de Sturm para trazar la cisoide. (Fuente: Mathesis enucleata. Johann Christoph Sturm)

Paralelamente, en 1689 J. Ch. Sturm (1635 - 1703) en su Mathesis Enucleata describe un sistema articulado para dibujar la cisoide. En el siguiente vídeo puede verse un esquema del funcionamiento del mismo:

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Manteniendo su notación, el punto H está en la cisoide de vértice D si y solo si DH = FP. Por proyección sobre el eje x esto sucede si y solo si DG = KC y, por simetría de la circunferencia, esto es equivalente a GE = KF. Entonces, en el sistema articulado de Sturm, las barras DF y CE están forzadas a cortarse en el eje y, el punto E está forzado a moverse en la circunferencia y la barra EG se mantiene perpendicular al eje x. De este modo, el punto H de corte de las barras EG y DF describe la cisoide.

Sistema orgánico de generación de cónicas. Dibujo original del Principia Mathematica

Como hemos visto en la sección anterior, Van Schooten buscó un sistema uniforme para dibujar cónicas a través de movimientos mecánicos. Newton estudió su trabajo e ideó un sistema orgánico de generación de curvas que resolvía el problema planteado por van Schooten:

Dos ángulos de magnitud fija α y ß giran sobre dos pivotes (A y B) situados en sus vértices. Uno de los brazos del primer ángulo corta a uno de los brazos del segundo en un punto (M) que traza una línea recta, entonces el lugar de la intersección de los otros dos brazos (P) traza una cónica.

Principia Mathematica Libro I, sec, V, Lema XXI.

En el siguiente vídeo, el ángulo de vértice A es 30º y el de vértice B es 45º. Si se mueven los puntos A y B, se obtienen distintos trazados de cónicas:

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Newton llamó polos a los puntos fijos A y B y directriz a la recta sobre la que se mueve M. Parece ser que, en varios de sus papeles, Newton afirmaba que este mecanismo, iterado adecuadamente, era capaz de dibujar todo tipo de curvas algebraicas generalizando el principio de Descartes de que, al iterar los movimientos de mecanismos, el grado de la curva se duplicaba. Para empezar a construir curvas, se usa una recta como directriz. El tipo, tamaño y posición de la cónica descrita por el punto P depende de la posición de los polos, el tamaño de los ángulos y la posición de la directriz. Dichas iteraciones consisten en mover el punto M sobre distintos tipos de curvas lo que permite construir curvas de cualquier grado a partir de otras anteriores.

Esquema de McLaurin para duplicar el grado de una curva. (Fuente: Geometria organica, sive descriptio linearum curvarum universalis. Colin Maclaurin)

Como consecuencia de esta construcción, se obtiene que "por cinco puntos del plano en posición general pasa una única cónica", resultado conocido como Teorema de Braikenridge - McLaurin. Tanto Colin McLaurin (1698 - 1746) como William Braikenridge (1700 - 1768) se adjudicaron este resultado.

McLaurin consideró un caso particular de esta construcción orgánica donde

α=β=π/2

y demostró que si M recorre una curva de grado d, entonces P recorre una curva de grado 2d. En el siguiente vídeo, vemos la construcción de McLaurin en la que se ve que el tranformado de una elipse es claramente una curva de grado cuatro:

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La construcción de Braikenridge es puramente proyectiva. Por tres puntos fijos no alineados del plano B1, B2 y B3 se hacen pasar tres rectas variables r1 por B1, r2 por B2 y r3 por B3. Sean A1=r2∩r3, A2=r1∩r3 y A3=r1∩r2 y el punto A1 que recorre una recta fija r que no pasa por ninguno de los puntos fijos. Braikenridge demuestra que si A2 recorre una curva de grado d, entonces A3 describe una curva de grado 2d.

En el siguiente vídeo, se puede ver el mismo caso anterior con la elipse:

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De esta forma, se abre un interesante camino para combinar distintos tipos de construcciones mecánicas de cara a generar mecánicamente curvas algebraicas de cualquier grado como intuyó Descartes. A esta curva obtenida se le puede volver a aplicar la transformación de McLaurin o de Braikenrige para obtener una nueva curva y así sucesivamente.

Constructeur universel d'equations: ilustración dedicada al Álgebra de la Enciclopedia de Diderot y D'Alambert. Paris 1751-1772

Así, a finales del siglo XVIII nos encontramos en una situación de gran desarrollo en la construcción, teoría y diseño de mecanismos articulados. Un ejemplo del uso de este tipo de instrumentos, en este caso como dispositivos para el cálculo algebraico está descrito en el Dictionnaire raisonné des sciences, des arts el des métiers de Diderot y D'Alambert donde el álgebra es descrita como un potente metalenguaje del arte de resolver problemas que puede ayudarse de algún dispositivo mecánico destinado a aliviar la fatiga de largas operaciones contables. Este constructor universal de ecuaciones automatiza la resolución (aproximada) de ecuaciones polinómicas de tercer grado con coeficientes reales del tipo y = d + cx + bx² + ax³. Su funcionamiento tiene muchas similitudes con el mesolabio de Descartes. No es un mecanismo articulado para la construcción de curvas, objeto de este estudio, pero nos da una idea de la importancia de este tipo de maquinarias a finales del siglo XVIII.

Mecanismo Penna Geometrica de Suardi para dibujar curvas cíclicas. (Fuente: Nuovi Istromenti Per La Descrizione Di Diverse Curve Antiche E Moderne. Giambatista Suardi)

Por otro lado, destacar la figura del conde Gianbattista Suardi que en su Nuovi istromenti per la descrizione di diverse curve publicado en Brescia en 1752, describe una serie muy interesante de instrumentos para la construcción mecánica de curvas afrontando la cuestión de cuántas curvas distintas se pueden construir con un sólo aparato. Uno de estos aparatos llamado Penna Geometrica por el propio Suardi, permite dibujar un gran número de curvas generadas por movimientos rotatorios. Es similar al ilustrado por George Adams en su Geometrical and Graphical Essays (Londres, 1791) y consiste en un trípode de soporte en el centro del cual está sujeto un eje vertical con un brazo giratorio. A éste se le incorpora un segundo brazo móvil que lleva un puntero para dibujar la curva. A través de una serie de ruedas dentadas, los dos brazos giran de tal manera que dibujan hipo y epicicloides, elipses o espirales.

Mecanismo de Suardi para la construcción de la concoide. (Fuente: Nuovi Istromenti Per La Descrizione Di Diverse Curve Antiche E Moderne. Giambatista Suardi)

Suardi desarrolla el estudio de la naturaleza mecánica de las curvas con una intención predominantemente estética. En particular con respecto a las descripciones de las curvas orgánicas mecánicas, especialmente las logarítmicas, su tractriz (o trayectoria de Huygens) y su evoluta (la catenaria), curvas también vinculadas a las cuestiones relativas a la teoría de la mecánica de las curvas elásticas. Las curvas griegas - concoide de Nicomedes, cisoide de Diocles y cuadratriz de Dinostrato - que Suardi cita al comienzo de su tratado, no son sólo curiosidades arqueológicas sino instrumentos útiles para la resolución de problemas algebraicos. Suardi pone como ejemplo su mecanismo para construir la concoide como el primer tipo de conexión directa entre las propiedades geométricas y los vínculos mecánicos correspondientes.

En el siguiente vídeo puede verse el funcionamiento del mecanismo de Suardi para el trazado de la concoide: