2. La escuela de Alejandría, los árabes y el Renacimiento
La labor de búsqueda e investigación sobre las cónicas se desarrolló en la escuela de Alejandría gracias a los trabajos de Ptolomeo (100 - 170 d.C.) y el estudio de los trabajos de los grandes de la Antigüedad: Euclides (325 - 265 a.C.), Arquímedes (287 -212 a.C.) y Apolonio (262 -190 a.C.).
Fragmento de los Elementos de Euclides (Fuente: Wikipedia)
Los geómetras griegos trataban de resolver problemas geométricos mediante ingenios mecánicos y que el tipo de soluciones buscadas tenían aplicaciones prácticas. Como hemos comentado, esto iba en contra del 'deseo' de realizar construcciones geométricas usando únicamente los 'instrumentos divinos', la regla y el compás. Pappus llegó a excluir de la Geometría tales construcciones.
La gran obra de Apolonio Sobre las secciones cónicas y su influencia posterior hizo de la construcción de curvas obtenidas como secciones del cono un asunto de capital importancia. Hay referencias de un elipsógrafo atribuido a Proclo (y posteriormente a Leonardo da Vinci) consistente en dos barras rígidamente unidas con dos ranuras por las que se deslizan dos pivotes de una tercera barra. Cualquier punto rígidamente unido a esta tercera barra describe una elipse.
Elipsógrafo atribuido a Proclo. (Fuente: Katalog mathematischer und mathematisch-physikalischer Modelle)
En el siguiente vídeo puede verse el movimiento del mecanismo:
Descargar la construcción (Cinderella.2)
Proclo habla de un compás para trazar parábolas de Isidoro de Mileto, arquitecto griego bizantino coautor de la basílica de Santa Sofía en Constantinopla (S. VI d.C.). También se menciona a Eutoquio, de la escuela de Isidoro y de un aparato para resolver el problema de la duplicación del cubo mediante el método de Menecmo mencionado en la sección anterior.
Este es el legado de la escuela griega a nuestro estudio sobre mecanismos para la construcción de curvas. Con la destrucción de la Biblioteca de Alejandría por parte del califa Omar en el año 640 d.C., se perdió gran parte de ese legado y habrá que esperar unos cuantos siglos para volver a tener noticias de mecanismos de este tipo vía autores árabes principalmente. Es interesante observar que tras el brillante periodo alejandrino en que los griegos sentaron las bases de la matemática, hubo un lapso de estancamiento antes de que los europeos, a comienzos del siglo XVI, reiniciaran el camino en el punto en que los griegos lo dejaran. Algunos historiadores incluso sostienen que La ciencia árabe solo reprodujo las enseñanzas de la ciencia griega.
Reproducción del conicógrafo citado por Mohammed Ibn Hocen.(Fuente: Wissenschaft und Technik im Islam)
Sin entrar en estas valoraciones, las traducciones de manuscritos islámicos de la época de Franz Wöpcke (1826 - 1864) indican que los tres problemas clásicos de la matemática griega son estudiados por los matemáticos árabes y encontramos soluciones en escritos del siglo XI mediante el uso de cónicas y curvas de grado cuatro. Es conocido el método del jardinero para la construcción de elipses además de un compas parfait para dibujar cónicas por parte de los matemáticos Ahmed Ibn Mohammed Ibn Abdel-Djelîl es-Sidjzi (siglo IX), Abou Sehl Ouîdjen Ibn Ouesten el-Kouhi (siglo X) y Mohammed Ibn Hoceïn (siglo XI). En un manuscrito de éste último, aparece una reproducción de un instrumento capaz de dibujar cónicas.
Por último, mencionar que Franz Wöpcke habla de la resolución mecánica por parte del matemático Ibn Ahaïtham (Alhacén) de un problema arquimediano resolviendo una ecuación cúbica del tipo x3-cx2+a2b=0 que implica la construcción de una parábola. Sus palabras son:
Élle m'a paru mériter une attention particulière, comme solution mécanique d'un problème de géometrie; et encore parce qu'elle prouve, comme on verra, combien les Arabes ont su pénétrer dans l'esprit des méthodes greques, et sén faire des instruments qu'ils maniaient habilement.
Mecanismo de Leonardo da Vinci para resolver el problema de Alhajen. (Fuente: Wissenschaft und Technik im Islam)
Mientras tanto, en Occidente no se tienen noticias de avances al respecto de nuestro estudio hasta finales del siglo XV cuando Leonardo da Vinci (1452 - 1519) y Alberto Durero (1471 - 1528) diseñaron aparatos para la resolución de problemas geométricos. Se ha comentado que el elipsógrafo de Proclo también se le atribuye a Leonardo. También se le atribuye un mecanismo articulado para la resolución del problema de Alhazen, un problema de óptica ya formulado por Ptolomeo en el año 150 que Leonardo reconoció que no lograría resolver de manera geométrica y recurrió a una solución mecánica presentada su Codex Atlanticus.
Mecanismo de Durero para el trazado de cicloides. (Fuente: Underweysung der messung, mit den zirckel un richtscheyt, in Linien ebnen unnd gantzen corporen. Albrecht Dürer)
Por su parte, Durero en su obra Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt in lidien (Nuremberg 1525), además de describir métodos para el trazado de cónicas punto a punto, diseña dos instrumentos para el trazado de curvas: uno para el trazado de óvalos y cicloides y otro para trazar la concoide de Nicomedes.
Leonardo y Durero tenían interés en la implementación práctica del uso de estos mecanismos. Sin embargo, Francesco Barozzi (1537 - 1604) - conocido como Barocius - tradujo y comentó las obras de Proclo y Herón y en su libro sobre rectas Admirandum illud geometricum problema tredecim modis demonstratum quod docet duas lineas in eodem plano designare, quae nunquam invicem coincidant, etiam si in infinitum protrahantur: et quanto longius producuntur, tanto sibiinuicem propiores euadant (1586), concibió el aparato para el trazado de cónicas que con tanto ahínco trataron de construir los matemáticos árabes.
Conicógrafo de Barocius. (Fuente: Admirandum illud geometricum problema tredecim modis ...)
Las traducciones de Francesco Maurolico (1494 - 1575) de textos griegos, contribuyeron a la investigación en la construcción de mecanismos para dibujar cónicas. Su trabajo inspiró al astrónomo Christoph Scheiner (1573 - 1650) - al que se le atribuye el invento del pantógrafo, mecanismo articulado basado en las propiedades de los paralelogramos - para construir un conicógrafo mejorando el de Barocius. Un alumno de Scheiner, Georg Schönberger, describe el instrumento en su obra Exegesis fundamentorum gnomicorum (Ingolstadt 1614) y explica las posiciones que debe adoptar el mecanismo para trazar la elipse, hipérbola y parábola y poderlo aplicar en la construcción de relojes de sol.
Por último, citar a Guido Ubaldo del Monte (1545 - 1607) - protector de Galileo - y sus instrumentos: uno para el trazado de hipérbolas donde el trazado se hace punto a punto y un elipsógrafo que replica el de Proclo-Leonardo.
Referencias:
The First Six Books of the Elements of Euclid by John Casey and Euclid
Mathematicae Collectiones", by Pappus, in a translation of Federico Commandino (1589)
Las matemáticas en el Islam medieval. Enrique A. Chaparro
Trois traités arabes sur le compas parfait. F. Wöpcke
Admirandum illud geometricum problema tredecim modis demonstratum (...). Francesco Barozzi
1. LOS TRES PROBLEMAS CLÁSICOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA
4. NEWTON Y LA GENERALIZACIÓN DE LAS CONSTRUCCIONES