4. Estudiando los mecanismos de cuatro barras
Un mecanismo de cuatro barras es la cadena cinemática cerrada más simple de eslabones unidos con un grado de libertad. El concepto de cadena cinemática fue desarrollado por Franz Reuleaux (1829 - 1905), ingeniero alemán. Una cadena cinemática se obtiene al conectar entre sí varios eslabones (barras) de tal forma que sea posible el movimiento relativo entre ellos de forma que si se proporciona un movimiento de entrada, se obtiene como respuesta un movimiento de salida. Si no son posibles dichos movimientos, se trata de una estructura.
Mecanismo de cuatro barras para el portón del maletero de un coche. (Fuente: mecapedia.uij.es)
Casi todas las cadenas cinemáticas tienen un eslabón fijo (soporte) que constituye el cierre de la cadena siendo móviles los demás. Vemos entonces que un mecanismo de cuatro barras es como uno de tres barras al que hemos añadido la barra que une los dos pivotes fijos.
Por medio de mecanismos de cuatro barras en combinación con otros, se pueden construir mecanismos más complejos. Además, los mecanismos de cuatro barras permiten generar directamente una amplia variedad de movimientos (curvas). Por todo esto y por la economía en su construcción, este tipo de mecanismo es el más utilizado en máquinas y se puede encontrar como mecanismos de aperturas de puertas, suspensiones de vehículos, limpiaparabrisas, formando parte de la estructura de maquinarias tales como prensas, excavadoras, máquinas transportadoras, etc.
Elevador de motos a partir de un paralelogramo articulado. (Fuente: harleyclasica.es)
Recursos
En esta página se presentan actividades y recursos para la realización de las actividades propuestas.
Por otro lado, en este enlace hay una lección a cargo de Alexander Slocum, profesor de Ingeniería Mecánica del MIT, acerca de mecanismos articulados en la que presta especial atención a los de cuatro barras.
Descripción de la actividad
Las actividades propuestas se van a basar tanto en la manipulación de construcciones interactivas para la obtención de resultados cuanto en el estudio puramente matemático de mecanismos articulados de cuatro barras.
Clasificación: ley de Grashof
En esta primera actividad, el alumno debe trabajar con la siguiente construcción:
Descargar la construcción (Cinderella..2)
En un mecanismo de cuatro barras KLMN distinguimos:
- La barra de sujección fija KL
- La barra que genera el movimiento KM
- La barra móvil en función de la anterior MN y LN
En un mecanismo de cuatro barras, si una barra realiza un giro completo se denomina manivela. Si realiza un movimiento de giro alternativo, se denomina balancín. La barra de conexión MN se denomina acoplador.
La actividad va a consistir en cambiar las medidas de las cuatro barras del mecanismo en la construcción anterior para que:
- el mecanismo tenga una manivela y un balancín
- el mecanismo tenga dos balancines
- el mecanismo tenga dos manivelas
Cuantas más construcciones se encuentren, mejor. Porteriormente, se debe intentar deducir la ley de Grashof por parte del alumnado.
Un mecanismo de cuatro barras es de Grashof si tiene, al menos, una barra que realiza un giro completo (es decir, tiene al menos una manivela).
Este documento puede ser el que se entregue al alumnado.
Curvas de acoplador
Se denomina curva de acoplador a la curva que describe un punto de la biela o acoplador de un mecanismo durante su movimiento.
En la siguiente construcción se pueden ver 7 curvas de acoplador generadas por el mismo mecanismo.
Descargar la construcción (Cinderella..2)
Para cada mecanismo de cuatro barras, el plano del acoplador tiene infinitos puntos por lo que un mismo mecanismo de cuatro barras puede generar infinitas trayectorias distintas siendo este una característica muy interesante de cara a aplicaciones en la industria debido a la economía en la construcción del mecanismo, su versatilidad y a las posibilidades que ofrece.
Las curvas generadas mediante un mecanismo de este tipo son algebraicas de grado 6.
Otra forma muy interesante de generar estas curvas es añadir un triángulo de lados variables al acoplador para que el vértice genere la curva como puede verse en la siguiente construcción:
Descargar la construcción (Cinderella..2)
La actividad a desarrollar con los alumnos será la manipulación de la construcción anterior viendo qué tipo de curvas se generan cuando el mecanismo es:
de doble manivela
de manivela-balancín
de doble balancín (de Grashof)
de doble balancín (de no Grashof)
Las curvas obtenidas pueden clasificarse como:
- Curvas formadas por arcos casi circulares
- Curvas formadas por arcos casi circulares y un segmento casi rectilíneo
- Curvas formadas por arcos casi circulares y dos segmentos casi rectilíneos
- Curvas con puntos dobles o figuras en forma de ocho
- Curvas con forma de ala de avión
- Curvas con puntos de retroceso o cúspides
Sistema de coordenadas y notación empleada por Hartenberg y Denavit para obtener la ecuación de la curva de acoplador. (Fuente: Kinematic synthesis of linkages, 1964. Hartenberg & Denavit)
Teorema de Roberts-Chevychev
El teorema de Roberts-Chevychev establece que una misma curva pareada puede ser generada por tres mecanismos de cuatro barras diferentes llamados mecanismos cognados. Esto no es sólo una curiosidad matemática ya que una vez que una trayectoria es generada por un mecanismo, puede ocurrir que la ubicación de los pivotes fijos sea un inconveniente en el diseño de una máquina o que uno de sus cognados puede tener mejores características para la transmisión de fuerzas, algo esencial en Ingeniería.
En el siguiente vídeo puede verse un ejemplo: el punto P es el punto de acoplador de tres mecanismos articulados de cuatro barras: el ABDE (verde), el AHIC (naranja) y el BFGC (azul).
Descargar la construcción (Cinderella..2)
La primera actividad va a consistir en manipular el mecanismo de la construcción anterior de forma que el mecanismo original (verde) sea de doble manivela, doble balancín (de Grashof y no de Grashof), manivela-balancín y plegable y estudiar de qué tipo son los otros dos mecanismos cognados cumplimentando una tabla como la siguiente:
Samuel Roberts (1827-1913) y Pafnuty Lvovich Chevyshev (1821-1894) fueron dos importantes matemáticos de finales del siglo XVIII. Ambos fueron miembros de la Royal Society y estudiaron, entre otros muchos temas, las curvas pareadas y los mecanismos cognados. La literatura francesa y alemana habla del teorema de Roberts mientras que la rusa habla del teorema de Chevyshev. Roberts publicó el resultado en 1875 y Chevyshev en 1878 y, salvo en el resultado final, no hay relación entre los dos desarrollos empleados por lo que parece conveniente citar a ambos autores en el nombre del teorema.
Para investigar el teorema de Roberts-Chevyshev, consideramos el mecanismo de cuatro barras OAABOB de la siguiente figura siendo M el punto de acoplador que traza la curva pareada:
Con la siguiente figura, veamos el método para generar los mecanismos cognados del mecanismo OAABOB :
A la izquierda de la construcción se añaden los puntos A1 y C1 de forma que OAAA1 forme un paralelogramo y que el triángulo A1MC1 sea semejante al triángulo ABM.
A la derecha se realiza una construcción similar con B2 y C2: paralelogramo OBBMB2 y triángulo B2MC2 semejante a ABM.
Por último, se obtiene el punto OC mediante el paralelogramo C1MC2OC. Este punto OC va a ser fijo. Además, se observa que el triángulo OAOBOC es semejante al original ABM.
Realizada la construcción, podemos observar que se obtienen tres mecanismos de cuatro barras conectados por el punto de acoplador M:
OAABOB: el mecanismo original
OAA1C1OC: la barra OAOC no se muestra
OBA2C2OC: la barra OBOC no se muestra
Así. los tres mecanismos trazan la misma curva por lo que el mecanismo original puede ser reemplazado por cualquiera de los otros dos de cara a mejorar la posición del mecanismo dentro de una máquina.
La segunda actividad propuesta consiste en construir los cognados de este mecanismo de cuatro barras.
Vinculación curricular
En este caso, vamos a hacer referencia a la aportación de estas actividades a objetivos de otras asignaturas de Secundaria como Ciencias de la Naturaleza y Tecnología. El segundo objetivo general de la enseñanza de las Ciencias de la Naturaleza en la etapa de Secundaria, tiene como finalidad aplicar, en la resolución de problemas, estrategias coherentes con los procedimientos de las ciencias, tales como la discusión del interés de los problemas planteados, la formulación de hipótesis, la elaboración de estrategias de resolución y de diseños experimentales, el análisis de resultados, la consideración de aplicaciones y repercusiones del estudio realizado y la búsqueda de coherencia global.
Por otro lado, el tercer objetivo general de la enseñanza de las Tecnologías en la etapa de Secundaria supone analizar los objetos y sistemas técnicos para comprender su funcionamiento, conocer sus elementos y las funciones que realizan, aprender la mejor forma de usarlos y controlarlos y entender las condiciones fundamentales que han intervenido en su diseño y construcción.
Así pues, vemos cómo las actividades propuestas no se inscriben exclusivamente en el campo de la enseñanza de las Matenáticas sino que tienen (y deben tener) relación con otras asignaturas evitando la excesiva compartimentalización del conocimiento tan habitual en nuestras aulas, El trabajo interdisciplinar supone una motivación para el alumnado que supone el reconocimiento de la importancia del dominio de ideas y destrezas matemáticas en otras materias.
Por otro lado, cabe indicar el carácter investigador de esta propuesta en el sentido de que al alumno no se le da un resultado (Ley de Grashof) para que se lo aprenda y, posteriormente, lo vomite en un examen sino que se pretende que deduzca por sí mismo este resultado.
Además, los mecanismos articulados de cuatro barras son un tema recurrente en distintas asignaturas de carreras universitarias de Ingeniería (análisis de posición, velocidad y aceleración, síntesis de mecanismos articulados de cuatro barras) por lo que el conocimiento de la existencia y funcionamiento de este tipo de mecanismos en etapas anteriores a la universitaria, ayuda a los alumnos que cursen estos estudios a tener una base muy útil en el futuro.
Referencias:
Kinematic synthesis of linkages, 1964. Hartenberg & Denavit
Four-bar Coupler Curve and Centrode Atlas Main Page at Cedarville University
FUNdaMENTALS of Design by A. Slocum (Massachusetts Institute of Technology)
1. A LA CAZA DE MECANISMOS ARTICULADOS