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A finales del siglo XVIII existe una gran variedad de mecanismos y técnicas para dibujar curvas algebraicas de cualquier grado. Pero ¿cómo dibujar una línea recta?, cuestión en apariencia trivial pero de gran importancia para los ingenieros victorianos que necesitaban limitar el movimiento de un pistón en una máquina de vapor a un movimiento rectilíneo. Alfred Bray Kempe (1849 - 1922) publicó en 1875 un libro titulado ¿Cómo dibujar una línea recta? en el que hace un estudio sistemático de algunos tipos de sistemas articulados que o bien aproximan a una línea recta o bien la trazan exactamente e introduce variantes sobre los mismos.
Portada del libro de Kempe. (Fuente: https://archive.org/)
El primero en dar una solución aproximada fue James Watt (1736-1819), ingeniero escocés que realizó mejoras en la máquina de Newcomen que dieron lugar a la máquina de vapor. En 1784, patentó su sistema articulado para convertir el movimiento circular a un movimiento casi rectilíneo que consideraba su invento más interesante:
I have got a glimpse of a method of causing a piston rod to move up and down perpendicularly by only fixing it to a piece of iron upon the beam, without chains or perpendicular guides [...] and one of the most ingenious simple pieces of mechanics I have invented (Carta de Watt a su colega M. Boulton en enero de 1784).
Mecanismo de movimiento paralelo de Watt. (Fuente: Wikipedia)
El sistema de movimiento paralelo a una dirección de referencia consiste en tres barras articuladas. Las dos de los extremos son de mayor longitud que la central. El punto medio de la barra central traza aproximadamente una línea recta en las proximidades del centro del mecanismo. En otra carta a Boulton del 11 de septiembre de 1784, Watt describe el mecanismo: The convexities of the arches, lying in contrary directions, there is a certain point within the connecting-lever, [the movement of] which has very little sensible variation from a straight line por lo que Watt era consciente de que no dibujaba una línea recta exactamente.
En el siguiente vídeo puede verse el movimiento del mecanismo:
Descargar la construcción (Cinderella..2)
Otra solución aproximada al trazado de una línea recta es atribuida a Richard Roberts (1789-1864), ingeniero de Manchester. El mecanismo es de tres barras, dos laterales de igual longitud fijadas a dos pivotes cuya distancia es el doble de la medida de la barra central. Sujeto a la barra central tenemos un triángulo isósceles. Las medidas de los lados del triángulo coinciden con las medidas de las barras. El vértice opuesto al lado desigual de este triángulo describe aproximadamente una línea recta cuando se mueve entre los dos pivotes fijos.
Máquina para cortar pilotes bajo el agua de 1760. (Fuente: Kinematics of Mechanisms from the Time of Watt, by Eugene S. Ferguson)
A pesar de que este mecanismo está atribuido a Roberts, causa confusión el hecho de que no aparece en ninguna de sus patentes y que puede verse implementado en una máquina de 1760 para el corte de pilotes bajo el agua.
En el siguiente vídeo puede verse el movimiento del mecanismo:
Descargar la construcción (Cinderella..2)
Igual de simple que el mecanismo de Watt, encontramos otro mecanismo que genera un movimiento conocido por saltamontes atribuido a Oliver Evans (1755 - 1819), ingeniero norteamericano pionero en el uso de máquinas de vapor de alta presión.
Máquina Columbian de 1813 con el mecanismo del saltamontes de Evans. (Fuente: Wikipedia)
El sistema tiene dos barras, una de longitud doble que la otra. La barra más corta está articulada en el punto medio de la larga. Así, este mecanismo transforma un movimiento rectilíneo en otro perpendicular. Hay que hacer notar que este mecanismo ya presupone el contar con una línea recta.
En el siguiente vídeo puede verse el movimiento del mecanismo:
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El matemático ruso Pafnuty Chebyshev (1821-1894) fue el principal protagonista en la búsqueda de la línea recta durante el siglo XIX. Después de visitar Inglaterra y Francia y observar el progreso de la mecánica aplicada en estos paises, en 1853 leyó su primer texto sobre el tema y durante treinta años atacó el problema con nuevos bríos al menos una docena de veces. Al parecer, llegó a pensar que era imposible construir un mecanismo que trazase exactamente una recta.
Pafnuti Lvóvich Chebyshev (1821-1894) matemático ruso. (Fuente: Wikipedia)
Su primera solución que dibuja aproximadamente una línea recta es un mecanismo de tres barras, las dos laterales de igual longitud fijadas a dos pivotes cuya distancia es el doble de la medida de la barra central (al igual que en el de Roberts). En este caso, si L1 es la distancia entre los pivotes fijos, L2=L4 la medida de las barras laterales y L3 la medida de la barra central, la relación debe ser:
L1 : L2 : L3 = 2 : 2'5 : 1 = 4 : 5 : 2 cumpliéndose que:
De este modo, el punto central de la barra central es el que dibuja aproximadamente una línea recta.
En el siguiente vídeo puede verse el movimiento del mecanismo:
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Posteriormente, mejora este mecanismo con una variante que tiene la ventaja de no disponer de barras cruzadas que interfieran el movimiento:
Descargar la construcción (Cinderella..2)
Chevyschev se dio cuenta de que los principales mecanismos articulados para aproximar una línea recta eran los de Watt y Evans llegando a calcular las desviaciones de ambos obteniendo errores de orden de 10-5. Se le ocurrió, entonces, combinar los dos mecanismos de forma que se compensaran esos errores. En su primera propuesta, a un mecanismo de Watt que sigue aproximadamente una línea recta le asocia un mecanismo de Evans obteniendo que se traza una línea recta con un error de 10-11.
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Posteriormente, sustituyó el mecanismo de Watt por el suyo de barras cruzadas alcanzando desviaciones del orden de 10-13. En 1873 se exhibió en Viena un prototipo de máquina de vapor que utilizaba este último mecanismo combinado. Un visitante inglés comentó que el mecanismo, a pesar de lo ingenioso, no era muy práctico ya que no se imaginaba una circunstancia en la que tan complicado sistema de barras, con tantas articulaciones, pivotes y engranajes que lubricar y mantener tendría ventaja respecto a un sistema menos exacto pero más sólido y sencillo.
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Todas esta soluciones aproximadas al trazado de una línea recta que hemos visto son, en general, del tipo mecanismo de Watt, es decir, mecanismos articulados de cuatro barras con dos pivotes fijos y tres barras. La cuarta barra sería la que une esos dos pivotes fijos.
Mecanismo de White para trazar una línea recta basado en las propiedades de la hipocicloide. (Fuente: Kinematics of Mechanisms from the Time of Watt, by Eugene S. Ferguson)
Antes de que expirase el monopolio de la patente del mecanismo de Boulton y Watt en 1800, encontramos un mecanismo para trazar líneas rectas exactamente aplicando las propiedades de la hipocicloide a cargo del ingeniero inglés James White. Es una solución con un concepto totalmente distinto a lo anterior. Si una rueda de radio r gira sin deslizar dentro de una circunferencia de radio 2r, el punto de la rueda que al iniciar el movimiento está en contacto con la circunferencia exterior se mueve en línea recta. White recibió una medalla de Napoleón Bonaparte por su invento cuando se exhibió en una exposición industrial en París en 1801. En el siguiente vídeo, se ve que, cuando el radio de la circunferencia exterior es doble que el de la interior, el punto traza una línea recta:
Otro mecanismo que describe una línea recta exactamente fue descrito por Pierre Frederic Sarrus (1798-1861) en 1853 y difiere totalmente de los anteriores en el sentido de que sus partes se mueven en el espacio de dimensión tres en vez de en dimensión dos como los sistemas articulados planos. En el siguiente vídeo puede verse el mecanismo en funcionamiento:
Tenemos entonces sistemas articulados que aproximan muy bien la línea recta y sistemas que la trazan exactamente pero que no son prácticos de implementar.
El primer sistema articulado capaz de dibujar en el plano una línea recta se debe a Charles-Nicolas Peaucellier (1832 - 1913), capitán de ingenieros del ejército francés y antiguo alumno de la Ecole Polytechnique. A los 32 años, en 1864, escribe una carta al editor de Nouvelles Annales de mathématiques(ser. 2, vol. 3, pp. 414-415) de París en la que describe un compas compose, el mecanismo articulado en cuestión, y propone construir uno que trace rectas, circunferencias de cualquier radio por grande que sea y cónicas. Sin embargo, no publica su modelo hasta 1873 Nouvelles Annales de mathématiques (ser. 2, vol. 12) por lo que algunos autores atribuyen su invención a Yom Tov Lipman Lipkin (1843 - 1875). Ambos obtuvieron premios en su tiempo por su invento. En su publicación, Peaucellier conjeturó que si un mecanismo articulado generaba curvas que podían ser expresadas algebraicamente, cada curva algebraica debería ser generada por un sistema articulado.
Inversor de Peaucellier que traza exactamente una línea recta. (Fuente: How to Draw a Straight Line: A Lecture on Linkages by A. B. Kempe)
El mecanismo de Peaucellier consta de siete barras articuladas y transforma un movimiento circular en uno rectilíneo mediante una inversión. En el siguiente vídeo puede verse el mecanismo en funcionamiento:
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El mecanismo de Peaucellier suele presentarse de esta forma pero se puede 'compactar'.
Modelo del compas composé Peaucellier del Conservatoire National des Arts et Métiers, Paris, 1875. (Fuente: Kinematics of Mechanisms from the Time of Watt, by Eugene S. Ferguson)
La geometría no varía y según James Joseph Sylvester (1814 - 1897), matemático británico fundador del American Journal of Mathematics, en esta forma se utilizó el inversor de Peaucellier para guiar los pistones del sistema de ventilación de la casa de los Comunes del Parlamento británico.
Sistema de ventilación de la Casa de los Comunes del Parlamento Británico. (Fuente: Kinematics of Mechanisms from the Time of Watt, by Eugene S. Ferguson)
Sylvester se entusiasmó tanto con el aparato que llegó a afirmar:
The perfect parallel motion of Peaucellier looks so simple, and moves so easily that people who see it at work almost universally express astonishment that it waited so long to be discovered. But I wonders the more that it was ever found out, and can see no reason why it should have been discovered for a hundred years to come.
En el siguiente vídeo puede verse el inversor de Peaucellier en modo "compacto":
Descargar la construcción (Cinderella..2)
En los últimos años del XIX se inventan numerosas mejoras y variantes del inversor, algunas tan complejas como un sistema articulado de Sylvester compuesto por 78 barras y capaz de trazar el segmento que une dos puntos dados.
J. J. Sylvester (1814-1897), matemático y estudioso de mecanismos articulados para dibujar líneas rectas. (Fuente: Wikipedia)
En el sentido opuesto tenemos el mecanismo ideado por Harry Hart en 1874 para trazar exactamente una línea recta. Si el mecanismo de Peaucellier tenía siete barras, éste tiene solamente cinco. Básicamente consiste en un antiparalelogramo de cuatro barras iguales dos a dos que transforma un movimiento circular en uno rectilíneo aplicando una inversión como la del mecanismo de Peaucellier:
Descargar la construcción (Cinderella..2)
A los mecanismos de Peaucellier y Hart se les suele llamar inversores ya que reproducen la transformación geométrica llamada inversión:
Sea C una circunferencia con centro O y radio r y sea A un punto distinto de O. La inversión de A respecto a C es el punto B de la recta que pasa por O y A tal que OA·OB=r2.
Y esta propiedad es la que usan Peaucellier y Hart para, de un modo muy ingenioso y sencillo, invertir un movimiento circular y transformarlo en uno rectilíneo.
Variante del inversor de Peaucellier por Kempe. (Fuente: How to Draw a Straight Line: A Lecture on Linkages by A. B. Kempe)
Kempe, en su libro, propone una serie de variantes para trazar líneas rectas a estos inversores y realiza una serie de cambios de cara a construir mecánicamente cualquier curva algebraica. Pero eso lo veremos en la próxima sección.
Referencias:
How to Draw a Straight Line: A Lecture on Linkages by A. B. Kempe
Kinematics of Mechanisms from the Time of Watt, by Eugene S. Ferguson
How round is your circle? How to draw an approximate straight line
Straight Line and its construction
1. LOS TRES PROBLEMAS CLÁSICOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA
2. LA ESCUELA DE ALEJANDRÍA, LOS ÁRABES Y EL RENACIMIENTO
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