1. A la caza de mecanismos articulados
Los mecanismos articulados forman parte de nuestra realidad cotidiana. Los podemos encontrar en muchos sitios. En esta actividad se propone localizar el mayor número de estos mecanismos y realizar un pequeño estudio del funcionamiento y utilidad de cada uno de ellos.
Recursos
El primer y más importante recurso para la realización de esta actividad es el interés y curiosidad de los alumnos por la realidad que les rodea. La labor de búsqueda de mecanismos articulados, el entender su funcionamiento y comprender su utilidad deben ser una fuente de motivación para la realización de esta actividad.
Con el Sistema de Geometría Dinámica Cinderella.2, el alumno debe hacer un esquema del funcionamiento de cada mecanismo.
Descripción de la actividad
Se propone localizar mecanismos articulados reales y elaborar un pequeño informe sobre su utilidad y funcionamiento. Desde un punto de vista intuitivo, un sistema articulado es un mecanismo compuesto por barras rígidas unidas mediante pivotes. A continuación, vamos a presentar unos ejemplos.
Tijeras
Uno de los sistemas articulados más sencillos que nos podemos encontrar son unas tijeras. Como sistema articulado, consta de dos barras rígidas a y b unidas por un pivote A. El movimiento se genera girando el punto B o el punto C (o ambos a la vez) alrededor del pivote fijo A
A
.
Su utilidad es evidente: unas tijeras sirven para cortar.
Silla plegable
Descargar la construcción (Cinderella..2)
Un objeto cotidiano que hace uso de un sistema articulado es una silla plegable . En realidad, la silla tiene dos sistemas articulados simétricos que hacen que se pueda plegar. Así, lo primero que debemos hacer para estudiar el mecanismo articulado es esquematizar la figura de la silla de tres dimensiones en un mecanismo articulado plano de dos dimensiones. Debemos fijarnos pues en uno de los laterales de la silla. Vemos que como sistema articulado, consta de tres barras rígidas: a que corresponde al respaldo de la silla y las patas delanteras, b correspondiente al asiento y c correspondiente a las patas traseras de la silla. Estas barras están unidas mediante tres pivotes, dos de ellos fijos A y B y uno deslizante C.
En la realización del esquema, hemos tenido que usar una circunferencia auxiliar para obtener el pivote deslizante C como intersección de dicha circunferencia y la recta a. El movimiento se va a obtener moviendo la recta b.
En este caso, es muy interesante estudiar la diferencia entre los pivotes fijos y el deslizante. Los pivotes fijos básicamente son tornillos pero los pivotes deslizantes, en este modelo, son unas piezas que deben permitir tanto deslizar a lo largo de la barra a (respaldo y patas delanteras) como pivotar con la barra c (patas traseras). En el esquema, este pivote deslizante es representado simplemente como un punto C.
Se puede complementar este pequeño estudio sobre el mecanismo articulado que permite a una silla ser plegable con la búsqueda de otros modelos de sillas plegables para comparar tanto el esquema de funcionamiento para el plegado de la silla cuanto el método de pivote deslizante empleado.
Su utilidad es evidente: una silla sirve para sentarse.
Canapé abatible
Descargar la construcción (Cinderella..2)
En este caso, hemos localizado un mecanismo articulado que permite abrir un canapé abatible. Vemos que es un sistema articulado de cuatro barras. La barra a corresponde a la estructura de madera y la barra b corresponde al somier. Consta de cuatro pivotes A, B, C y D. A mayores, hay una barra hidráulica que permite la apertura sin apenas esfuerzo.
En este caso, hemos trazado tres circunferencias auxiliares para generar las cuatro barras del mecanismo. Las medidas de dichas circunferencias y, por tanto, las medidas de las barras, son esenciales para que la recta b sea horizontal cuando C esté en la recta a, es decir, para que cuando se cierre el canapé, el somier quede horizontal. En el estudio de este mecanismo, los alumnos deben tomas las medidas reales de las barras para realizar la construcción a escala en Cinderella.2.
Este tipo de mecanismos de cuatro barras (siendo una de ellas fijas) es el más utilizado en ingeniería debido a la sencillez del sistema y su versatilidad. En este caso, el mecanismo permite abrir el canapé.
Otros mecanismos
Plataforma elevadora. (Fuente: Wikipedia)
Pantógrafo ferroviario. (Fuente: Wikipedia)
Mecanismo de biela-pistón en un motor monocilíndrico. (Fuente: Wikipedia)
Además de los propuestos, la tarea consiste en encontrar otros, cuantos más mejor, y realizar el informe con un esquema del funcionamiento del mecanismo. Algunos de los mecanismos articulados que se pueden estudiar pueden ser una plataforma elevadora, un pantógrafo ferroviario o el mecanismo de biela-pistón para un motor de combustión interna.
Algunos tipos de uniones entre eslabones (pares cinemáticos). (Fuente: Wikipedia)
Se debe prestar mucha atención a las uniones (pares cinemáticos) de las barras (eslabones) del mecanismo diferenciando las articulaciones (rotacionales) de las guías correderas (prismáticos o deslizantes) y estudiando en detalle dichos pares cinemáticos, sobre todo los deslizantes.
Portada del Theoretische Kinematik de Franz Reuleaux en su versión en inglés. (Fuente: amazon.com)
Un estudio detallado sobre los pivotes de los sistemas articulados puede encontrarse en Theoretische Kinematik. Grundzüge einer Theorie des Maschinenwesens (1875) (pp. 86-98) de Franz Reuleaux, obra que estableció los cimientos teóricos de la Cinemática moderna. Reuleaux definió un mecanismo como la combinación de cuerpos resistentes conectados por medio de articulaciones móviles para formar una cadena cinemática cerrada con un eslabón fijo y cuyo propósito es transformar el movimiento, definición acorde con los mecanismos articulados objeto de este estudio.
Siguiendo esta línea referente a la Ingeniería Mecánica, otra de las actividades que se puede proponer dependiendo del nivel académico del alumnado es la obtención del número de grados de libertad de cada mecanismo articulado. Destacar que los sistemas articulados que estamos estudiando son mecanismos planos cuyo movimiento tiene lugar solo en dos dimensiones. El número de grados de libertad (GDL) de un sistema es el número de parámetros independientes que se necesitan para definir unívocamente su posición en el espacio en cualquier instante. Refiriéndose a un cuerpo rígido en el plano, se requiere de tres parámetros (GDL): dos coordenadas lineales (x, y) y una coordenada angular
En el espacio, se requiere de seis GDL: tres distancias (x, y, z) y tres ángulos α, ß y γ.
Para un mecanismo plano (como los estudiados), el número de grados de libertad del mismo se puede calcular mediante el criterio de Grübler-Kutzbah:
donde m es el número de grados de libertad, n es el número de elementos (eslabones) del mecanismo incluyendo el de agarre al suelo, j1 es el número de uniones de 1 grado de libertad y j2 es el número de uniones de 2 grados de libertad.
Elementos del mecanismo de Peaucellier. (Fuente: FUNdaMENTALS of Design)
Vamos a ver un ejemplo calculando el número de grados de libertad del mecanismo de Peaucellier:
n = 8 ya que se debe considerar la barra de sujección a suelo
j1 = 10 ya que hay 4 pares cinemáticos dobles de 1 grado de libertad
j2 = 0 ya que no hay pares cinemáticos de 2 grados de libertad
Por lo tanto, m = 3(8 - 1) - (2 · 10) = 1 es decir, el mecanismo de Peaucellier tiene un grado de libertad.
En el capítulo 1 de este documento pueden verse más ejemplos sobre la obtención del número de grados de libertad de distintos mecanismos así como la esquematización de estos mecanismos.
Vinculación curricular
Con esta actividad se pretende ayudar al alumnado a alcanzar algunos de los once objetivos generales de la enseñanza de las Matemáticas en la etapa de Secundaria según la legislación vigente:
2. Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en términos matemáticos, elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y analizar los resultados utilizando los recursos más apropiados.
5. Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la vida cotidiana, analizar las propiedades y relaciones geométricas implicadas y ser sensible a la belleza que generan al tiempo que estimulan la creatividad y la imaginación.
6. Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnológicos (calculadoras, ordenadores, etc.) tanto para realizar cálculos como para buscar, tratar y representar informaciones de índole diversa y también como ayuda en el aprendizaje.
7. Actuar ante los problemas que se plantean en la vida cotidiana de acuerdo con modos propios de la actividad matemática, tales como la exploración sistemática de alternativas, la precisión en el lenguaje, la flexibilidad para modificar el punto de vista o la perseverancia en la búsqueda de soluciones.
10. Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de saberes que se van adquiriendo desde las distintas áreas de modo que puedan emplearse de forma creativa, analítica y crítica.
Referencias:
Reuleaux Collection of Kinematic Mechanisms, Cornell University
3. CONSTRUYENDO MECANISMOS EN CINDERELLA.2