1. Los tres problemas clásicos de la matemática griega
El legado de la escuela pitagórica hizo que la matemática griega estuviera consagrada casi exclusivamente al estudio de la Geometría. En un principio fueron la recta y la circunferencia, construidas mediante regla y compás. A partir de estas figuras y sus conexiones mutuas, basaron los griegos todas las proposiciones geométricas, ya fueran teoremas o construcciones. Sin embargo, la regla y el compás resultaron ser 'artillería' insuficiente para la resolución de los tres problemas clásicos: la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo como se demostró muy posteriormente.
Papiro de Ahmes o papiro Rhind, escrito por el escriba Aahmes a mediados del siglo XVI a.C. (Fuente: Wikipedia)
La cuadratura del círculo es uno de los problemas matemáticos más antiguos ya conocido entre los babilonios y los egipcios. Aparece ya en el Papiro Rhind, un documento egipcio descubierto en 1855 y que contiene una serie de problemas matemáticos planteados hace unos 4000 años. Consiste en hallar un cuadrado de área igual a la de un círculo dado. En 1882, el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró que π es un número trascendente por lo que es imposible cuadrar el círculo usando regla y compás.
Templo de Apolo en las faldas del monte Parnaso, cerca de Delfos (Grecia). (Fuente: Wikipedia)
La duplicación del cubo consiste en hallar un cubo de volumen doble a uno dado. El origen de este problema es incierto conociéndose, al menos, un par de versiones distintas cuya fuente es Eratóstenes. La primera (en su obra Platonicus) le atribuye el origen a una consulta al oráculo de Delfos por parte de los habitantes de la isla de Delos a fin de aplacar una peste. El oráculo habría aconsejado duplicar el ara de Apolo que era cúbica.
La otra versión viene de la siguiente historia:
Eratóstenes al rey Tolomeo, saludos. Se cuenta que uno de los poetas trágicos antiguos representaba a Minos haciendo construir una tumba para Glauco y que, cuando Minos descubrió que la tumba medía cien pies de cada lado, dijo 'Demasiado pequeña es la tumba que habéis señalado como el sitio real de descanso. Hacedla el doble de grande. Sin arruinar la forma, rápidamente duplicad cada lado de la tumba'.
Esto claramente era un error ya que si los lados se duplican, la superficie se multiplica por cuatro y el volumen por ocho. Para duplicar el cubo, hace falta construir
, un número no construible con regla y compás tal y como demostró en 1837 el matemático francés Pierre Wantzel.
La trisección del ángulo consiste en dividir un ángulo α dado en 3 partes iguales. Hay varias razones por las cuales este problema difiere de los dos anteriores: no hay una historia que cuente cómo el problema llegó a ser planteado por primera vez y, además, este problema es resoluble en casos particulares (no como los anteriores) pero no en general ya que supone la resolución de una ecuación de tercer grado por lo que la demostración de Wantzel antes mencionada puede ser aplicada en este caso.
Para resolver estos problemas, los matemáticos griegos emplearon todo tipo de argucias desde las lúnulas de Hipócrates para la cuadratura del círculo, la construcción tridimensional de Arquitas para la duplicación del cubo o la espiral de Arquímedes para la trisección del ángulo. Hallazgos recientes como los axiomas de Huzita permiten trisecar un ángulo mediante papiroflexia.
Es interesante la controversia entre los historiadores de la matemática sobre la admisión en la geometría griega de construcciones usando instrumentos distintos a la regla y el compás. Plutarco escribió:
Platón reprochó a los discípulos de Eudoxo, Arquitas y Menecmo por recurrir a medios mecánicos e instrumentos para resolver el problema de duplicar el volumen, ya que en su deseo de encontrar de alguna manera dos medias proporcionales, recurrieron a un método que era irracional. Al proceder de esto modo, se perdía irremediablemente lo mejor de la geometría, por una regresión al nivel de los sentidos, lo cual impide crear e incluso percibir las imágenes eternas e incorpóreas entre las que Dios es eternamente Dios.
Los antiguos geómetras griegos consideraron tres clases de problemas en función de la construcción usada para su resolución: las construcciones con regla y compás se llamaron planas mientras que las que incluían secciones cónicas o construcción de dos medias proporcionales se llamaron sólidas. Las construcciones incluidas en estas dos clases fueron consideradas puramentes geométricas mientras que las de la tercera que incluía curvas que sólo se podían construir con algún ingenio mecánico, fueron excluidas de la Geometría.
Hippias de Élide, sofista griego. (Fuente: Wikipedia)
El primer mecanismo de este tipo del que se tiene conocimiento es del sistema para la construcción de una curva llamada trisectriz atribuido a Hippias (460 - 400 a.C.). Esta curva también se conoce como la cuadratriz de Dinostrato (390 - 320 a.C.) hermano de Menecmo, por cierto. Esta curva sirve para trisecar un ángulo y duplicar el cubo.
En el siguiente vídeo puede verse el movimiento del mecanismo:
En un cuadrado OABC, la medida OE aumenta con velocidad constante conforme aumenta la medida del arco AD con velocidad constante. El punto de corte P del segmento OD con la recta EQ traza la trisectriz.
Trisección del ángulo. (Fuente: elaboración propia)
No existen datos sobre un sistema articulado capaz de dibujar esta curva mediante un movimiento continuo pero es muy plausible que se dibujara trazando una cantidad suficiente de puntos de ella ya que es fácil dar un método elemental para dibujar una familia densa numerable de puntos de dicha curva.
La trisección del ángulo AOP es trivial sin más que trisecar el segmento AQ.
Platón, filósofo griego seguidor de Sócrates y maestro de Aristóteles. (Fuente: Wikipedia)
A pesar de lo comentado anteriormente acerca de la opinión de Platón sobre la generación de curvas mediante mecanismos articulados, hay referencias en Eutocio y Proclo en las que se le atribuye un sistema mecánico para el cálculo de raíces cúbicas que tiene aplicación directa para resolver el problema Deliano (duplicación del cubo).
El mecanismo consiste en 3 barras, dos de la cuales están rígidamente unidas por un extremo formando un ángulo recto y la tercera se puede desplazar a lo largo de una de las anteriores a la que está unida por uno de sus extremos, manteniéndose paralela a la otra. En el siguiente vídeo puede verse el movimiento del mecanismo:
Descargar la construcción (Cinderella.2)
Para obtener la raíz cúbica de OD/OA , es decir, de la medida del segmento OD tomando OA como unidad, en un sistema cartesiano se hace pasar una barra fija por el punto A y la deslizante por el punto D de forma que el pivote deslizante esté en el eje x, en el punto C. Aplicando el teorema de la altura a los triángulos ABC y BCD, tenemos:
de donde:
y se resuelve el problema de la duplicación del cubo.
No contenta con esta solución empírica, la escuela de Platón se dedicó a buscar nuevos métodos para la construcción de cónicas ya que Menecmo (380 - 320 a.C.) logró resolver teóricamente el problema de la duplicación del cubo reduciendo el problema a la construcción de las 2 medias proporcionales entre 2 y 1 lo que implica hallar la intersección de una parábola y una hipérbola equilátera. Así, la resolución de este problema se llevaría a cabo cuando se descubriesen instrumentos para la construcción de dichas curvas, los conicógrafos de los que hablaremos más adelante. Las primeras referencias a este tipo de aparatos son muy posteriores.
Mecanismo para trazar la concoide. (Fuente: Katalog mathematischer und mathematisch-physikalischer Modelle)
De esta época sólo se tiene noticia de un instrumento mecánico para la construcción de la curva conocida como concoide de Nicomedes (280 - 210 a.C.), curva usada para la resolución de los problemas de la duplicación del cubo y la trisección del ángulo. El sistema está formado por tres barras, dos de ellas rígidamente unidas entre sí formando un ángulo recto y la tercera que desliza a través de las otras dos a una distancia fija:
Descargar la construcción (Cinderella.2)
Y, por último, también se tienen noticias de una curva construida mecánicamente conocida como cisoide de Diocles (240 - 180 a.C.) utilizada también para resolver el problema de la duplicación del cubo. Proclo (418 - 485 d.C.) en sus comentarios sobre el libro I de los Elementos hace referencia a esta curva aunque, hasta tiempos de Newton, no hay referencias de un mecanismo para construirla.
Referencias:
Greek geometry from Thales to Euclid (1889) by Allman, George Johnston
Katalog mathematischer und mathematisch-physikalischer Modelle (1892)
Procli Diadochi in primum Euclidis Elementorum librum commentarii
2. LA ESCUELA DE ALEJANDRÍA, LOS ÁRABES Y EL RENACIMIENTO
4. NEWTON Y LA GENERALIZACIÓN DE LAS CONSTRUCCIONES