6. Kempe cierra el círculo

Alfred Bray Kempe (1849-1922) publicó en 1875 un libro titulado ¿Cómo dibujar una línea recta? en el que hace un estudio sistemático de algunos tipos de sistemas articulados e introduce variantes sobre los mismos. En 1876 presenta en su On a General Method of describing Plane Curves of the nth degree by Linkwork, una versión preliminar de lo que hoy se conoce como el Teorema de Universalidad de Kempe:

Dada una curva algebraica real plana f(x,y) = 0 y un punto P de ella, existen un entorno de P, E_p y un sistema articulado S tal que mientras un punto de S recorre un segmento de linea recta, otro punto de S describe la intersección de la curva con E_p.

Sir Alfred Bray Kempe. (Fuente: Wikipedia)

La importancia de este teorema radica en que, aunque con algunos errores leves, demuestra la conjetura de Peaucellier de que cualquier curva algebraica puede trazarse mediante un sistema articulado. Además, la potencia de este resultado se multiplica cuando se combina con el teorema de aproximación de Stone-Weierstrass que implica que cualquier función real continua o curva dentro de un intervalo compacto puede interpolarse con cualquier precisión por un polinomio o una curva algebraica.

Para construir el mecanismo que dibuja la curva f(x,y)=0, Kempe describe los sistemas articulados más básicos: el paralelogramo, el contraparalelogramo, el trasladador, el reversor, el multiplicador y el sumador.

Mientras que un sistema articulado en forma de paralelogramo es bien conocido, uno en forma de contraparalelogramo puede no serlo tanto. En un contraparalelogamo, un vértice P del paralelogramo está invertido manteniéndose las medidas del paralelogramo como vimos cuando hablamos del inversor de Hart. Así, los ángulos OBP y OAP son iguales. La mayoría del resto de mecanismos de Kempe son combinaciones de contraparalelogramos.

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El trasladador es un sistema articulado que permite trasladar vectores.

Imagen original del trasladador de Kempe y esquema del sistema articulado. (Fuente: How to Draw a Straight Line: A Lecture on Linkages by A. B. Kempe)

Si la barra OB forma con la horizontal cierto ángulo entonces, a través de dos paralelogramos OBPA y APST, las barras AP y ST forman el mismo ángulo con la horizontal.

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El reversor es un mecanismo articulado compuesto por dos contraparalelogramos.

Imagen original del reversor o duplicador de ángulos de Kempe y esquema del sistema articulado. (Fuente: How to Draw a Straight Line: A Lecture on Linkages by A. B. Kempe)

El primero es el OBCA donde |OB|=|AC| y |OA|=|BC|. En la barra BC tenemos un vértice deslizante D que forma parte del otro contraparalelogramo OEDB donde |OE|=|BD| y |OB|=|ED|. Así construido, los ángulos OED, OBC y OAD son iguales. Además, los contraparalelogramos son semejantes por lo que:

Así, |OB| es la tercera proporcional de |OE| y |OA|. Por otro lado, al ser semejantes los contraparalelogramos, tenemos que

Como la barra OA forma un ángulo theta con la barra OE, la barra OE siempre forma el mismo ángulo theta con la barra OB de ahí el nombre de reversor que le dio Kempe. Además

por lo que a este mecanismo también se le conoce como el duplicador de ángulos.

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Si al reversor le añadimos otras dos barras OG y GF de forma que

(es decir que |OE| es la tercera proporcional de |OG| y |OB|) con el vértice F deslizante sobre la barra ED, obtenemos el multiplicador, mecanismo articulado formado por tres contraparalelogramos.

Imagen original del multiplicador. (Fuente: How to Draw a Straight Line: A Lecture on Linkages by A. B. Kempe)

Esquema del multiplicador. (Fuente: Kempe's Linkages and the Universality Theorem. Anupam Saxena)

Además el ángulo

por lo que este mecanismo resuelve el problema de la trisección del ángulo. Si uno continúa añadiendo contraparalelogramos con estas condiciones, puede multiplicar cualquier ángulo theta por cualquier número natural r, de ahí el nombre de multiplicador por parte de Kempe.

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Si consideramos ahora dos reversores AKLD - ADMN y ABCD - ADEF con una barra AD común, tenemos el sumador de ángulos.

Esquema del sumador. (Fuente: Kempe's Linkages and the Universality Theorem. Anupam Saxena)

Se cumple que:

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Otro de los mecanismos articulados usados por Kempe es el girador formado por un paralelogramo ABCD. A través de las barras AB, AD y AC se deslizan cuatro barras: las barras IE e IG con los extremos E y G en el lado AB y las barras IF e IH con sus extremos F y H en la barra AD, las cuatro con un vértice común I que, a su vez, se desliza a través de la barra AC verificando que |IE|=|IF| e |IG|=|IH| y, por simetría |AG|=|AH| y |EG|=|FH|.

Girador de Kempe. (Fuente: elaboración propia)

Así, el girador permite girar cualquier ángulo un vector con origen en A de módulo menor o igual que AB sin más que desplazar el vértice I hasta que H se sitúe en el extremo del vector y luego desplazar C hasta que DAB sea el ángulo deseado. Así, AG será el vector girado de AH. Del mismo modo, se puede girar cualquier segmento FH el ángulo DAB.

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Una vez descritos estos mecanismos, Kempe en su On a General Method of describing Plane Curves of the nth degree by Linkwork, se las ingenia para combinar estos mecanismos y generar uno que traza una curva algebraica real plana f(x,y) = 0 dada.

Kempe no tuvo en cuenta los casos en los que un paralelogramo degenera en una línea recta y pasa a ser un contraparalelogramo y viceversa. Asumió que los paralelogramos siempre se mantendrían como tales al igual que los contraparalelogramos con los que el mecanismo describe la curva. Tenemos dos situaciones en las que esto puede ocurrir:

a.- Para encontrar el mecanismo que describe la curva algebraica f(x,y) = 0, Kempe construye un paralelogramo de vértices OAPB donde OA = m, OB = n y forman respectivamente ángulos θ y φ y con el eje OX. P es un punto de la curva. Así, sus coordenadas en polares son:

El problema aquí es la no unicidad global de las coordenadas trigonométricas ya que en la siguiente imagen, a la derecha, se muestran cuatro juegos de coordenadas distintas para cada punto P. Esto se debe a un cambio de configuración de paralelogramo que acabamos de comentar.

Sistema de coordenadas de Kempe y cuatro juegos de coordenadas para un punto P. (Fuente: Automated generation of Kempe linkage and its complexity. Gao Xiaoshan and Zhu Changcai)

b.- Todos los mecanismos que operan con contraparalelogramos requieren que no cambie su configuración para su correcto funcionamiento.

Para resolver estos problemas, se proponen unas modificaciones a los mismos para que no cambien de configuración. Para el paralelogramo ABCD no hay más que añadir una barra MN paralela a AD (y por tanto a BC) con extremos los puntos medios de AB y DC. Para el contraparalelogramo ABCD se añaden cuatro barras adicionales XN, XK, XM y XL siendo N, K, M y L los puntos medios de AD, AB, DC y BC respectivamente.

Modificaciones del paralelogramo y el contraparalelogramo para mantener su configuración. (Fuente: Generalizations of Kempe's universality theorem. Abbott, Timothy Good)

Con toda esta panoplia de mecanismos, Kempe se las ingenia para unir unos con otros y obtener el mecanismo que describe una curva concreta. La complejidad de la construcción de tales mecanismos es tremenda ya que, como afirmó el propio Kempe:

... there is a way of drawing any given case; and the variety of methods of expressing particular functions that have already been discovered renders it in the highest degree probable that in every case a simpler method can be found. There is still, therefore, a wide field open to the mathematical artist to discover the simplest linkworks that will describe particular curves.

Un ejemplo de esta complejidad lo tenemos en la siguiente imagen:

Mecanismo articulado siguiendo el método de Kempe para trazar una cónica concreta. (Fuente: Kempe's Linkages and the Universality Theorem. Anupam Saxena)

donde se muestra el sistema articulado de 41 barras y 59 pivotes (excluyendo el inversor de Peaucellier de arriba usado para generar el movimiento rectilíneo a lo largo del eje y) que genera una cónica concreta.

Probablemente, la más elegante reformulación del Teorema de Universalidad de Kempe, tal y como es presentado hoy en día, es debida a William Thurston (1946 - 2012). Thurston (Medalla Fields 1982) establece que toda variedad algebraica es analíticamente isomorfa a una componente de la variedad de posiciones de un sistema articulado. De aquí, se deduce de forma trivial el teorema de Kempe. La reformulación a la que hemos hecho referencia se resume en la frase “hay un sistema articulado que traza tu firma”.

Una curva racional aproxima la J en la firma de John Hancock y el mecanismo articulado que la traza. (Fuente: http://www.koutschan.de/data/link/)

En la imagen de arriba podemos ver un mecanismo articulado que traza la J de la firma de John Hancock, comerciante de Massachusetts y destacado patriota de la Revolución estadounidense, famoso por su firma en la Declaración de Independencia de manera que en Estados Unidos, “John Hancock” se ha llegado a convertir en sinónimo de firma. Este mecanismo consta de 26 barras y 37 pivotes. En este vídeo se puede ver el mecanismo en funcionamiento pudiéndose observar la complejidad de movimientos del mismo.