Valores de Verdad
Toda variable puede tener dos valores de verdad, o dicho de otra manera, en el sistema lógico que vamos a estudiar, toda oración tiene dos valores de verdad; o es verdadera o es falsa. Para expresar la verdad o falsedad de una oración vamos a utilizar la siguiente convención:‘1’ significará que la oración es verdadera y ‘0’ que la oración es falsa
De modo que una oración ‘p’ podrá tener sólo dos valores de verdad, y eso lo expresamos de la siguiente manera:
p
1
0
Si en lugar de una variable tomamos dos ‘p’ y ‘q’ y combinamos sus valores de verdad posibles obtendremos la siguiente tabla:
p q r
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0
En general, dado un número n de variables, o de enunciados, el número de combinaciones posibles de sus valores de verdad sería 2n
Además de los signos que nos permiten identificar enunciados, existen un segundo tipo de signos que posibilitan la formación de estructuras más complejas mediante conexiones entre oraciones simples.
VALORES DE VERDAD Y SÍMBOLOS LÓGICOS
Las conextivas
a) El Negador (¬)
Dado un enunciado p, podemos formar su negación superponiendo en el parte superior izquierda de la variable el signo de la negación: ¬p que se leerá ‘no p’. Su tabla de verdad es:
p
1
0
¬p
0
1
b) El conjuntor (Ù)
La unión de dos letras enunciativas mediante le símbolo de la conjunción permite construir enunciados moleculares (enunciados cuyos componentes son enunciados). Si tenemos dos variables enunciativas ‘p’ y ‘q’ podemos formar la oración ‘p ^ q’. Para construir la tabla de verdad de una conjunción hay que tener en cuenta que la conjunción es verdadera sólo cuando son verdaderas las variables que la componen.
La forma lógica de un enunciado como ‘voy a casa y veré la película’ será:
p ^ q
Donde ‘p’ es la letra enunciativa de la oración “voy a casa” y ‘q’ es la letra enunciativa que se corresponde con la oración “veré la película”.
c). El disyuntor (Ú).
El símbolo lógico de la disyunción es «u» y se puede traducir, aunque de una forma parcial e incompleta, con la partícula del lenguaje natural «o». También se le denomina como el símbolo de la suma lógica.
Podemos entonces construir una disyunción a partir de dos variables enunciativas de la siguiente forma: p Ú q
Con respecto a su valor de verdad, una disyunción es verdadera cuando al menos una de las proposiciones (variables enunciativas) lo es, y también, por supuesto, cuando ambas lo son.
Veamos la tabla de verdad de la oración “vienes o te quedas”
d) El implicador o condicional.(®)
El símbolo «®» es la formalización de la partícula del lenguaje ordinario «si…, entonces…» La expresión que se sitúa a la izquierda del símbolo lógico se le denomina antecedente y a la expresión que queda a la derecha consecuente. Una implicación será verdadera siempre que no se dé el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso; y falsa cuando sea ese el caso. Dicho de otra forma: sólo hay un caso en el que una implicación será falsa, y es cuando siendo su antecedente verdadero, el consecuente es falso. Veamos su tabla de verdad
El caso 3 podría parecer extraño. Podíamos pensar que si el antecedente de una implicación es falso y el consecuente verdadero, la implicación no sería ni verdadera ni falsa, o que fuese falsa. Pero tenemos que recordar que estamos ante una lógica bivalente y esto implica que toda enunciado debe tener un valor de verdad. Por otro lado, lo que se quiere decir en ese caso es que el antecedente es una condición suficiente para determinar el valor de verdad de la implicación, pero no una condición necesaria. Es decir, el consecuente podría ser verdadero por otras razones que no aparecen implicadas en el condicional
f) El coimplicador o bicondicional.(«)
El signo lógico que se corresponde con el bicondicional es ««». Mediante este signo, que se correspondería con la expresión “si y sólo si”, lo que queremos decir es que el antecedente es una condición suficiente y necesaria para que se de el consecuente. Pero si el antecedente es una condición necesaria y suficiente para que se dé el consecuente, entonces, si el consecuente se ha dado, también podemos inferir el consecuente.
Con respecto a su valor de verdad, un bicondicional es verdadero siempre que a) cuando son verdaderos tanto el antecedente como el consecuente; o b) cuando ambos son falsos.
Veamos la tabla de verdad de todos los signos lógicos
Podemos ahora empezar a realizar tablas de verdad de expresiones más complejas.
[(pÙq)Út]®(pÚt)
Paso 1: asignar valores de verdad a las variables enunciativas
Paso 2: leer bien la fórmula y determinar que tipo de fórmula es. Vemos que se trata de un condicional, por lo que comenzaremos a realizar la asignación de valores al antecedente. Pero oh! Cielos, resulta que es una fórmula compuesta. Ante todo mucha calma, sólo tenemos que descomponerlo en una fórmula más simple.
La fórmula a la que tenemos que asignar valores es una conjunción, por lo que tendremos que recordar las condiciones que hacía verdadera a una conjunción.
Paso 3: Terminamos de completar la asignación de valores al antecedente de la fórmula principal. Para ello tenemos que componer la fórmula.
La nueva fórmula es una disyunción. Ahora tendremos que recordar las condiciones que hace verdadera a una disyunción. Hay que tener en cuenta que debemos de comparar los valores de las columnas 3 y 4.
Paso 4: Ya tenemos resuelto el antecedente, ahora pasamos a leer el consecuente de la fórmula principal. De nuevo se trata de una fórmula molecular, en este caso una disyunción, pues nada a asignar los valores a la disyunción
Paso 5: Una vez que tenemos asignados los valores al antecedente y al consecuente, podemos asignar los valores de verdad al condicional. Recordemos las condiciones que hacen verdadero y falso a un condicional.
Ahora tenemos que comparar los valores de las columnas 1 y
En función de sus valores de verdad las expresiones que pertenecen al cálculo lógico se dividen en:
Para la asignación de valores tenemos que tener cuidado al comparar las columnas, en este caso 5 y 6, y hacerlo en el orden adecuado.
Tautologías o necesarias: En la expresiones tautológicas la última columna sólo contiene valores de verdad verdaderos (1).Contradicciones: En este caso en la última columna sólo encontramos valores de verdad falsos (0)
Expresiones consistentes: Fórmulas que se caracterizan porque al desarrollar su tabla de verdad, en la última columna encontramos valores de verdad verdaderos y falsos.
Noción de fórmula.
Para definir qué es una fórmula o una expresión bien formada del cálculo es necesario definir previamente la noción de 'fórmula' o fórmula atómica. En el cálculo de la lógica proposicional (para una lógica de nivel superior sería necesario introducir nuevas cláusulas) una fórmula atómica se forma con una variable enunciativa, por ejemplo: p, q, p1, w2. Para componer fórmulas más complejas se siguen las siguientes reglas de formación:
R1: Una fórmula atómica es una fórmula
R2: Si A es una fórmula, entonces ¬A también lo es
R3: Si A y B son fórmulas, entonces A Ù B, A Ú B, A ® B y A « B son fórmulas