Zinematika

Zer da higidura?

Askotan ez da erraza esatea gorputz bat higitzen den ala ez. Adibidez tren baten barruan goazenean.

Hartu behar dugu erreferentzia bat eta horrekiko aztertu ea gorputzaren posizioa aldatzen den.

Posizioaren aldaketa denboran zehar erreferentzia batekiko.

Higikaria

Higitzen den edozein gorputza da.

Aurreko animazioan higikariak dira: elefantea, zikoina, pirata-untzia, izarra, espaziontziak eta Eguzkia.

Gorputzen higidurak aztertzeko gorputzak partikulatzat edo puntutzat hartuko ditugu. Horrek ez du esan nahi gorputza txikia denik; Lurra Eguzkiaren inguruko orbitan partikulatzat hartzen dugu nahiz eta handia izan.

Higikaria partikulatzat hartuta, gorputzaren tamaina ibilbidearen luzerarekin alderatuz arbuiagarritzat har daiteke kalkuluak errazteko.

Erreferentzi sistema

Lehenago esan dugun bezala higikari baten higidura definitzeko erreferentzia bat hartu behar dugu.

Erreferentzi sistema: puntu edo puntu multzo bat da, zeinarekiko gorputz baten higidura deskribatzen dugun.

Gorputz baten posizioa aldatzen bada denboran zehar erreferentzi sistemarekiko higiduran dago. Aldatzen ez bada, geldirik edo pausagunean dagoela diogu.

www.educaplus.org/game/sistemas-de-referencia

Higiduraren erlatibotasuna

Zeruari begira gaudenean badirudi Eguzkia higitzen dela. Jakin badakigu Lurra higitzen dela Eguzkiaren inguruan eta Lurrarekin batera geu ere bai.

Eta Eguzkia geldirik dago? Ez. Eguzki-sistema desplazatzen ari da Esne-bidea izeneko galaxian.

Unibertsoan ez dago puntu finkorik; beraz, higidura guztiak erlatiboak dira.

Erreferentzia finkoa balitz higidura absolutua izango litzateke. Baina, zinez ez dago higidura absoluturik, denak erlatiboak dira.

Askotan errefentzi absolututzat hartzen dira oso urruti dauden izar geldiak.

Ibilbidea

Ibilbidea da higikari batek izandako posizio guztien segida.

Ibilbideak izan daitezke zuzenak edo kurbatuak eta bat, bi edo hiru dimentsiokoak.

Oro har:

Zuzenak. Ibilbidea zuzeneko lerroa bada.
Kurbatuak. Ibilbidea lerro kurbatua bada. Hauen artean:
- Zirkularrak
- Eliptikoak
- Parabolikoak

Posizio-bektorea

Puntu baten posizioa definitzen duen bektorea da.

Bektore unitarioen funtzioan adierazten da. Bektore unitarioak i, j eta k dira OX, OY eta OZ ardatzetan hurrenez hurren.

Bi dimentsiotan honela adierazten da:

non x eta y puntuko koordenatuak diren.

Deskonposatu bektoreak

Sistema Internazionalean posizio-bektorearen unitatea metroa (m) da.

Posizio-bektorearen modulua puntuko distantzia jatorrira adierazten du. Beheko ekuazioak emana dator:

Posizio-bektorearen moduluaren (r) eta koordenatuen (x; y) arteko erlazio trigonometrikoak honako hauek dira:

Higiduraren ekuazioa

Aztertu nahi dugu nola aldatzen den higikariaren posizioa denboran zehar. Horretarako ekuazio matematiko bat behar dugu; higiduraren ekuazio delakoa.

Non x(t) eta y(t) ekuazio parametrikoak diren.

Ekuazio parametrikoetatik denbora askatuz y = f(x) erlazioa lor dezakegu; ibilbidearen ekuazioa, hain zuzen ere.

Azter dezagun adibide bat. Higidura baten ekuazioa honako hau da SIean:

Ekuazio parametrikok: x = 2t + 1 eta y = (t - 1)²

Egin dezagun y-x grafikoa; ibilbidearen grafikoa.

Balio taula bat sortuko dugu:

Excel programa erabiliko dugu grafikoa sortzeko.

Sartu x-en datuak lehenengo zutabean.
Idatzi y-ren datuak bigarren zutabean.
Aukeratu bi zutabeak.
Sakatu grafikoak eta aukeratu "dispersion: puntos conectados por lineas".
Aurrera. Sartu ardatzen izenak eta amaitu.

Honelako grafiko bat lortuko duzu:

Grafikoak higikariaren ibilbidea erakusten du eta ibilbidearen ekuazioa lortzeko askatu behar duzu denbora (t) bi ekuazio parametrikoetatik eta azkenik y = f(x) erlazioa erdietsi.

Ibilbidea parabola bati dagokion ekuazio bat da : y = [(x-3)/2] ²

Desplazamendu-bektorea

Distantzia eta desplazamendu kontzeptuak ez dira berdinak.

Distantziak egindako ibilbidearen luzera adierazten du.

Desplazamendua, ostera, bektore bat da. Hasierako puntuan du jatorria eta muturra bukaerako puntuan.

Desplazamendu-bektorearen moduluak hasierako puntutik bukaerako punturainoko distantzia zuzena adierazten du.

*Delta r irakurtzen da eta gehikuntza adierazten du: azken balioa minus hasierako balioa.

Ibilbidea zuzena bada desplazamendu-bektorea (delta r) eta egindako espazioa (delta s) berdinak dira; bestela, egindako distantzia handiagoa da.

Applet honek zalantzak argituko dizkizu: educaplus

Abiadura

Herri hizkeran bizkortasuna eta abiadura kontzeptuak nahastu egiten dira sarritan.

Fisikan bi magnitude desberdintzat hartzen dira.

Bizkortasuna edo azkartasuna magnitude eskalarra da eta denbora unitateko egindako distantzia adierazten du.

Abiadura, aldiz, magnitude bektoriala da eta denbora unitateko posizio-aldaketa adierazten du.

Bion unitatea SIean metro segundokoa (m/s) da.

Batez besteko abiadura

Desplazamendu-bektorearen eta pasaturiko denbora tartearen arteko zatidura da.
Magnitude bektoriala da.

Batez besteko bizkortasuna

Ibilbidearen gainean egindako distantziaren (s-s_o) eta pasatako denbora tartearen (t-t_o) arteko zatidura da.

Magnitude eskalarra da.

Higidura zuzena bada eta noranzkoa ez bada aldatzen batez besteko abiadura-bektorearen modulua eta batez besteko bizkortasuna berdinak dira.

Aldiuneko abiadura

Higidura gehienak ez dira unformeak izaten. Normalean abiadura aldatu egiten da ibilbide osoan. Bidai batean gelditu egiten zara semaforo aurrean, bazkaltzeko; azeleratu egiten duzu abiatzean, e.a. Batez besteko abiadurak ez du azaltzen zein izan den bidai osoan zehar une guztietako abiadura. Horretarako aldiuneko abiadura definitu beharrean gaude.

Aldiuneko abiadura: denbora-tarteak zerorantz jotzean, batez besteko abiadura-bektoreak limitean duen balioa da. Hots, posizio-bektorearen denborarekiko deribatua.

Edozein puntutan aldiuneko abiadura-bektoreak zuzen ukitzailearen norabidea du eta noranzkoa higidurarena.

Abiadura-bektorearen moduluari bizkortasuna deritzo. Bi dimentsiotan bere balioa hurrengoa da:

Azelerazioa

Abiadura aldatzen denean azelerazio dagoela esaten dugu. Abiaduraren modulua edota norabidea alda daiteke.

Azelerazioaren unitatea SIean m/s² (metro segundo karratuko) da

Batez besteko azelerazioa

Aldiuneko abiadura-bektorearen aldakuntzaren eta denbora tartearen arteko zatidura.

Aldiuneko azelerazioa

Denbora-tarteak zerorantz jotzean batez besteko abiadura-bektoreak limitean duen balio bektoriala da. Beste era batera esanda, abiadura-bektorearen deribatua denborarekiko.

Azelerazioaren norabidea.

OX ardatzean honako irizpideak hartu beharko ditugu:

Higikaria OX ardatzerdi positiborantz doan (positiboa) ala ez (negatiboa)
Bizkortasuna handitzen bada positiboa. Bestela, negatiboa.

Azelerazioaren osagai intrintsekoak

Bi motako azelerazio daude, abiaduraren modulua edo norabidea aldatzen den arabera.

Azelerazio tangentziala. Abiadura-bektorearen moduluaren aldaketa adierazten du.

Bektore bat da.

Azelerazio tangentzialaren norabidea ibilbidearekiko ukitzazilea da eta modulua abiaduraren moduluaren deribatua denborarekiko.

Azelerazio normala edo zentripetua. Abiadura-bektorearen norabidearen aldaketa adierazten du.

Magnitude bektoriala. Ibilbidearen zentrurantz bideratuta dago eta modulu abiaduraren karratua zati kurbadura-erradioa du.

Animazioa

Higidura zuzen uniformea HZU

Ibilbidea zuzena da eta abiaduraren modulua, norabidea eta noranzkoa konstanteak.

Higiduraren norabidetzat OX ardatza hartzen badugu HZUren ekuazioa honako hau da:

x = x₀ + v (t - t₀)

x = higikariaren posizioa (m); x₀ = hasierako posizioa (m); v = abiadura (m/s); t = denbora (s); t₀ = hasierako denbora (s)

Irizpideak:

Posizioa (x) OX ardatzarena (jatorritik eskuinera positiboa eta ezkerrera negatiboa).

Abiadura (v) . Higikaria eskuinerantz badoa positiboa eta eskerrerantz badoa negatiboa.

Grafikoak

Ariketak ebatzeko metodoa.

Irakurri enuntziatua behin eta berriro egoera ulertu arte.
Egin egoerari dagokion marrazkia edo diagrama.
Idatzi datuak SIean.
Idatzi higiduraren ekuazioak.
Ordezkatu datuak eta askatu ezezagunak.
Aztertu emaitzak ea logikoak diren matematikaren eta fisikaren ikuspuntutik

Adibidea (topaketa) :140 km-ra aurkitzen diren bi herrietatik, une berean kotxe bi ateratzen dira 60 eta 90 km/h abiaduraz hurrenez hurren. Bilatu topaketa lekua eta erabilitako denbora. (*Ez dugu erabiliko SIeko unitateak)

Bi higikarien higidura HZU da; beraz, erabili behar dugun ekuazioa: x = x₀ + v (t - t₀)

Elkar gurutzatzen direnean bi higikarien posizioa bera da eta pasatako denbora ere bai. Datuak ordezkatuz:

A kotxea, x = 0 + 60 km/h · (t-0)

B kotxea, x = 140km - 90 km/h · (t-0)

Sistema askatzen badugu: x = 56 km eta t = 0,93 h = 56 minutu

Emaitza logikoa da. Ontzat emango dugu.

Higidura zuzen uniformeki azeleratua HZUA

Ibilbidea zuzena da eta higikaria azelerazio konstantez desplazatzen da. Abiadura uniformeki aldatzen da.

Ekuazioak.

x = higikariaren posizioa (m); x₀ = hasierako posizioa (m); v₀ = hasierako abiadura (m/s); v = abiadura (m/s); t = denbora (s); t₀ = hasierako denbora (s) ; a = azelerazioa (m/s²)

Irizpideak.

x positiboa (0,0) puntutik eskuinera.
x negatiboa (0,0) puntutik ezkerrera.
y positiboa (0,0) puntutik gora.
y negatiboa (0,0) puntutik behera.
v positiboa eskuinerantz edo gorantz badoa.
v negatiboa ezkerrerantz edo beherantz badoa.
a positiboa abiadura handitzen bada eta higikaria eskumarantz badoa.
a positiboa abiadura txikitzen bada eta higikaria ezkerrerantz badoa.
a negatiboa abiadura handitzen bada eta higikaria ezkerrerantz badoa.
a negatiboa abiadura txikitzen bada eta higikaria eskumarantz badoa.

Grafikoak

Adibidea. Hegazkin bat 144 km/h abiaduraz lurreratzen da kilometro bat egiten duelarik gelditu arte. Kalkulatu azelerazioa eta erabilitako denbora.

Datuak: v₀= 144 km/h = 40 m/s; v = 0; x₀ = 0; x = 1 km = 1000 m; t₀ = 0

Ezezagunak: a eta t

Ekuazioak: goikoak

Datuak ordezkatuz: 1000m = 0 + 40 · (t - 0) + 1/2 a · ( t - 0)²

0 = 40 m/s + a · (t - 0)

Sistema askatuko dugu eta... a = -0,8 m/s² eta t = 50 s

Walter Fendt

Phet

Higidura bertikala grabitatearen menpe.

Ibilbidea zuzena da, bertikala, hain zuzen ere. Azelerazio konstantea (g). Lurreko gainazalean dagoen batez besteko grabitatearen azelerazioa 9,8 m/s² da. Grabitatea Lurraren zentrurantz zuzenduta dago eta horregatik negatibotzat hartuko dugu; beraz, -9,8 m/s²

Kasu honetan y koordenatua erabiliko dugu higikariaren posizioa definitzeko.

Ekuazioak

Animazioa

Adibidea. Bertikalki gorantz jaurtitzen dugu pelota bat 29,4 m/s hasierako abiaduraz. Kalkulatu: a) abiadura eta altuera 2 s beranduago; b) lortuko duen altuera maximoa; c) lurraren kontra talka egitean duen abiadura.

Datuak: v₀ = 29,4 m/s; t₀ = 0; y₀ = 0; a = -9,8 m/s²

Datua: t = 2 s Ezezagunak: v eta y

Ekuazioak: goikoak

Datuak ordezkatuz, y = 0 + 29,4 m/s · (2 - 0) + 1/2 · (-9,8 m/s²) · (2 - 0)² = 39,2 m

v = 29,4 m/s + (-9,8 m/s²) · (2 - 0) = 9,8 m/s

Datua: altuera maximokoko puntuan abiadura nulua da, v = 0. Ezezagunak y eta t.

Datuak ordezkatuko ditugu goiko ekuazioetan: y = 0 + 29,4 m/s · (t - 0) + 1/2 · (-9,8 m/s²) · (t - 0)²

0 = 29,4 m/s + (-9,8 m/s²) · (t - 0)

Ekuazio-sistema askatu ondoren, y = 44,1 m eta t = 3 s

Datua: y = 0. Ezezagunak: v eta t

Datuak ordezkatuko ditugu goiko ekuazioetan: 0 = 0 + 29,4 m/s · (t - 0) + 1/2 · (-9,8 m/s²) · (t - 0)²

v = 29,4 m/s + (-9,8 m/s²) · (t - 0)

Ebatziko dugu ekuazio-sistema. Bi emaitza t = 0 eta t = 6 s; v = 29,4 m/s eta v = -29,4 m/s

Lehenengo emaitza hasierako posizioa da (pelota jaurtitzen dugunean) eta bigarrena lurreratzen denean; hauxe da eskatutakoa.

Bi HZU perpendikularren konposizioa

Beheko arraunlaria ibaia zeharkatzen duenean korronteak desbideratzen du bide zuzenetik.

Bi higidura daude: bata korrontearena eta bestea arraunlariarena; biak perpendikularrak euren artean.

Har ditzagun OX eta OY ardatzak eta demagun higikaria ardatzerdi posiboetatik higitzen dela irudian ikusten den bezala.

Animazioa

Higidura parabolikoa

Bi higiduren konposizioa da:

OX ardatzean higidura zuzen uniformea
OY ardatzean higidura zuzen uniformeki azeleratua (grabitatearen menpean)

Animazioa

Hasierako abiadura bi osagaietan deskonposatzen da:

V_0x = V₀ cosa
V_0y = V₀ sina

Ekuazioak:

OX ardatzean: X = X₀ + V_0x (t-t₀) = X₀ + V₀ cosa (t-t₀)

OY ardatzean: Y = Y₀ + V_0y (t-t₀) + 1/2 (-9,8) (t-t₀)² = Y₀ + V₀ sina (t-t₀) + 1/2 (-9,8) (t-t₀)²

V_y = V_0y + (-9,8) (t-t₀) = V₀ sina + (-9,8) (t-t₀)

Irispena: higikariak egiten duen distantzia horizontala. y = 0 dueneko X koordenatuaren balioa da.

Altuera maximoa. Une horretan abiaduraren osagai bertikala, V_y , nulua da. Baldintza horrekin y(max) kalkulatuko dugu.

Adibidea: horizontalarekiko 30º -ko angeluaz jaurtitzen da proiektil bat 50 m/s hasierako abiadurarekin. Kalkulatu irispena, altuera maximoa eta denbora osoaren laurdena pasa eta geroko posizioa eta abiadura.

Datuak: x(0)=0; y(0)=0; t(0)=0; Vox=50cos30; Voy=50 sin30

Ekuazioetan ordezkatuko ditugu goiko datuak:

OX ardatzean: X = 0 + 50 cos30 (t-0)

OY ardatzean: Y = 0 + 50 sin30 (t-0) + 1/2 (-9,8) (t-0)²

V_y = 50 sin30 + (-9,8) (t-0)

Irispena kalkulatzeko y = 0 baldintza betetzen da. y-ren ekuazioan denbora askatuko dugu. Bi soluzio daude, bata t =0 hasierako posizioan eta beste bat. Denbora horrekin x-en ekuazioa irispena (x=220,92 m).
Altuera maximoko puntuan Vy nulua da. Vy-ren ekuazioan denbora askatu eta balio horrekin y kalkulatu (Ymax = 31,89 m)
Lehenengo puntuan lortutako denboraren laurdena izango da oraingo datua (t = 1,28 s)

Ordezkatu datu hori X , Y , Vx eta Vy ekuazioetan eta beheko ekuazioak erabili eta gero... emaitza.

Walter fendt

Phet

Projectile motion

Jaurtiketa horizontala.

Higidura parabolikoaren kasu berezi bat. Hasierako abiadurak ez dauka osagai bertikalik (V_0y = 0); beraz, V₀=V_0x

Adibidea: Hegazkin bat 900 m-ko altueran hegaz doa eta askatu egiten du bonba bat helburutik 1200 m baino lehenago, bertan joz. Zer abiadura darama hegazkinak?

Datuak: x(0) = 0; y(0) = 900 m; t(0) = 0; Vox = ?; Voy = 0 ; x = 1200 m denean y = 0

Ekuazioetan ordezkatuko ditugu goiko datuak:

OX ardatzean: 1200 = 0 + Vox (t-0)

OY ardatzean: 0 = 900 + 0 · (t-0) + 1/2 (-9,8) (t-0)²

V_y = 0 + (-9,8) (t-0)

Sistema askatu ondoren, V₀=V_0x= 88,54 m/s

Animazioa. Educaplus