Unidad II - Lógica simbólica

LÓGICA PROPOSICIONAL O SIMBÓLICA

Un poco de historia...

La lógica simbólica o matemática, no es una lógica distinta de la lógica clásica o aristotélica, sino que más bien, se trata de dos momentos en el desarrollo de una lógica, dos momentos históricos. La lógica en su presentación clásica, como silogística, obedecía a la obra de Aristóteles (filósofo y científico griego, 384-322 a.C), pero Kant (filósofo alemán, 1724-1804), en el siglo XVIII, afirmaba que, desde ese inicio, la lógica no había dado un paso adelante ni atrás. En realidad, esta afirmación kantiana no se alejaba de la realidad. Excepto por algún intento solitario de G. Leibniz (filósofo alemán, 1646-1716), pretendiendo crear una especie de lenguaje universal, al modo de las matemáticas, con el que según su autor, todos los problemas podían ser resueltos de un modo mecánico como cálculo, la lógica no había realizado grandes progresos desde Aristóteles.

Sin embargo, a fines del s. XIX y comienzos del XX, la lógica experimeta un vertiginoso avance, difícil de preveer desde la perspectiva de la lógica clásica. Este avance obedece, en buena medida, a los aportes de Boole (lógico y matemático británico, 1815-1864), De Frege (matemático y filósofo alemán, 1848-1925), entre otros.

Estos aportes consisten, a grandes rasgos, en llevar a cabo una completa formalización del lenguaje. Como consecuencia de ello, se puede considerar la lógica desde una perspectiva matemática, lo cual confiere otro rigor y precisión. Con estos nuevos elementos, la nueva lógica mostrará otro alcance y profundidad, pudiéndose realizar en ella, no solo todas las operaciones que se podían realizar en la lógica clásica, sino que además, es posible solucionar problemas que ésta no solucionaba y también analizar nuevos tópicos.

Características de la lógica simbólica o matemática:

La lógica simbólica, se distingue por el uso de instrumentos más refinados que la lógica clásica, antes que por el objeto de sus estudios. Algunas de sus características distintivas son:

* La lógica simbólica se construye de un modo totalmente formalizado, o sea que utiliza los símbolos como si fueran signos materiales, sin tener en cuenta su significación. Si bien la lógica clásica poseía cierto grado de formalización, presentaba expresiones del lenguaje natural que hacían ambiguas algunas de sus consideraciones. El tratamiento técnico que es posible darle a las argumentaciones obedece a la formalización.

* Las expresiones se transforman mediante la aplicación de reglas de operación exactas y explícitas. Esto permite operar en la lógica como un cálculo.

* La utilización de una simbología para el proceso de la formalización se lleva a cabo de manera consecuente y completa. Esta característica se conoce como simbolización.

* Las características anteriores permiten presentar muchos capítulos de la lógica simbólica como sistemas axiomáticos.

La lógica proposicional:

La lógica proposicional, también llamada "lógica de enunciados" o "lógica de conectivas interproposicionales", es la parte de la lógica que estudia el modo de construcción de enunciados a partir de otros enunciados. No le interesará, el modo en que se construyen enunciados a partir de elementos que no sean ellos mismos enunciados.

En este dominio lógico, nos ocuparemos de las proposiciones considerándolas como un "todo", o sea, sin descomponerlas en sus partes, en este sentido prescindiremos de la estructura interna de las proposiciones y consideraremos proposiciones a lo que entendíamos por enunciados, o sea, las afirmaciones susceptibles de ser declaradas verdaderas o falsas. En este sentido son proposiciones o enunciados, expresiones tales como "la miel es dulce", "llueve", "2 x 3 = 6".

Gramática lógica:

Para expresar las proposiciones, en este nivel lógico utilizaremos las letras minúsculas del alfabeto latino: "p", "q", "r", "s", etc.

Proposiciones atómicas y moleculares:

Atómicas: Son aquellas que no están afectadas por ninguna conectiva.

Ej: "llueve", representada por la letra "p".

Moleculares: Son aquellas que aparecen afectadas por conectivas lógicas, pudiéndose obtener de más de un modo: por ej, "no llueve", que expresa la negación del enunciado o cuando relacionamos más de un enunciado mediante conectivas o constantes lógicas, por ej, "llueve y hace frío".

Conectivas o constantes lógicas:

Estas expresiones, junto alas que expresan variables, nos permiten la construcción de enunciados complejos. Estas expresiones tienen un comportamiento constante, son partículas sintácticas o lógicas.

Esta es la lista de las que utilizaremos:

Todas estas conectivas (con excepción de la primera), son binarias, esto es, permiten unir entre sí, dos proposiciones. Con respecto al "no" ella afecta siempre a una proposición, es una conectiva monádica.

Sobre el uso de paréntesis:

Al igual que en las matemáticas, los paréntesis tienen la función de unir o separar expresiones. Por lo tanto, de aparecer una negación precediendo un paréntesis, ésta afecta al resultado de todo e mismo y ya no sólo a las variables que aparece inmediatamente a se derecha. Por ej: -(p.q); la negación no afecta sólo a p, sino a toda la expresión.

Tablas de verdad:

Funciones veritativas:

Una proposición molecular puede descomponerse pues, en proposiciones atómicas y conectivas proposicionales.

Sabemos que toda proposición posee, por definición, un valor veritativo: es verdadera (V) o falsa (F). ¿Dependerá el valor veritativo de una proposición molecular del valor de verdad de las atómicas que la componen?.

Tomemos el caso de la proposición molecular más simple posible, la negación de una atómica, por ejemplo:

1. No llueve (-p)

2. Estaba ebrio y colérico (p.q)

3. Estaba ebrio o colérico (p v q)

En el caso 1, es claro que el valor de verdad de "-p" depende del de "p", pues si "p" es verdadera (es decir, si llueve), "-p" es falsa (es falso que no llueve) y si "p" es falsa (esto es, si no llueve), "-p" es verdadera (es verdadero que no llueve).

En el caso 2, la proposición resultará falsa en todos los casos, excepto en uno: cuando ambas atómicas son verdaderas.

En el caso 3, será verdadera en todos los casos excepto en aquel en que ambas atómicas fueran falsas.

A continuación se muestran cuáles son los resultados que las diferentes conectivas arrojan para las mismas combinaciones de valores de verdad, en las que denominamos tablas de verdad.

El caso de negación es más sencillo:

Simbolización de proposiciones y tablas de verdad:

¿Cómo simbolizar proposiciones moleculares, que combinan más de una conectiva?:

Ejemplifiquemos:

1."No fue al cine, pero concurrió al teatro", incluye una negación y una conjunción; la conjunción afecta a la primera proposición solamente, en este caso. Esta proposición se simboliza "-p.q".

2. Pero la proposición "No es cierto que fui al cine y al teatro", se advierte que la negación afecta a la conjunción en su conjunto; esta proposición se simboliza "-(p.q)".

Los paréntesis y llaves indican el alcance de la conectiva, de modo similar como en matemática determinan el alcance de una operación. Y se debe aclarar también que cuando una proposición atómica se repite, debe repetirse la variable proposicional que la simboliza.

También se debe tener presente que estamos trabajando con una lógica bivalente, lo cual significa que los valores de verdad que se le asignen a cada variable proposicional, tendrán como base el número dos, elevado a la cantidad de variables proposcionales que se tengan, y eso determinará la cantidad de hileras de valores de verdad y falsedad que se deben colocar.

Ejemplos:

1. p.q, aquí, son dos variables proposicionales, por lo tanto es 2² = 4, y la tabla quedará de la siguiente manera:

Tautología, contingencia y contradicción:

El resultado que nos puede ofrecer una tabla de verdad, puede asumir tres combinaciones de valores diferentes: 1) que nos dé siempre verdadero; 2) que nos dé siempre falso; 3) que en algunos casos dé verdadero y en otros falso. Estos tres resultados dan lugar a tres tipos de expresiones diferentes que llamaremos, por su orden, tautología, contradicción y contingencia.

Validez y verdad:

La verdad de las expresiones moleculares dependía de los valores de verdad de los enunciados atómicos componentes. De este modo cuando señalamos qué valores deben tomar los enunciados componentes para que el compuesto sea verdadero estamos dando las condiciones de verdad del compuesto. Todos los compuestos que consideramos eran tales que .resultaban verdaderos para algunas asignaciones de valor a sus enunciados componentes y falsos para otras. Sin embargo hay enunciados compuestos que resultan verdaderos para cualquier asignación de valores de verdad a sus componentes. Cuando un enunciado resulta falso para cualquier valor de verdad de sus componentes decimos que es inconsistente. A su vez cuando resulta verdadero para toda asignación de valores a sus componentes decimos que es válido.

Tablas de equivalencia (TE):

…hemos presentado un procedimiento que dada una expresión cualquiera nos permitía determinar su validez y a partir de ésta las relaciones de implicación y equivalencia. Sin embargo, no cabe duda de que dicho procedimiento resultaría bastante tedioso, e incluso engorroso, cuando tratáramos con enunciados que contuvieran cuatro o más enunciados atómicos distintos como componentes. Considérese que si el enunciado contiene cinco enunciados componentes distintos tendríamos que considerar 2⁵=32 combinaciones de valores de verdad, lo cual daría una tabla con 32 líneas; y si contuviese seis enunciados atómicos distintos tendríamos 2⁶=64 líneas, y es evidente que una tabla con 32 o 64 líneas es algo cuya

construcción resulta muy poco edificante.

…Por ejemplo, si tenemos la siguiente conjunción “p . q” y sabemos que “q” tiene el valor V es obvio que el valor de la conjunción será el mismo que el de la expresión “p” ya que si “p” es V los dos componentes de “p . q” tendrían el valor V y por lo tanto “p . q” tomaría el valor V; por otra parte se “p” es F, entonces “p . q” tomaría el valor F aún cuando “q” sea V. A su vez, si sabemos que “q” es F, entonces cualquiera sea el valor de “p”, “p . q” tomará el valor F ya que una conjunción uno de cuyos componentes es F toma el valor F. Podemos hacer el mismo razonamiento con cada una de las conectivas fundamentales. Como resultado de ese análisis obtendremos la siguiente tabla:

Como podemos ver cada una de las columnas cierra en V y por lo tanto la expresión resulta ser válida. Si las columnas hubieran cerrado algunas en V y otras en F la expresión habría resultado consistente y si el cierre de todas las columnas hubiese sido en F resultaría inconsistente.

Una interpretación alternativa:

Hasta ahora hemos venido interpretando las letras “p”, “q”, “r”, etc., como estando en lugar de enunciados atómicos, y las distintas conectivas como corresopondiendo a expresiones del tipo “p”, “o”, “no”, etc. Sin embargo, ésta no es la única interpretación posible del denominado cálculo proposicional. Ya que el propio Boole[1] había señalado la importancia del desarrollo de un álgebra abstracta que admitiera varias interpretaciones distintas y el cálculo desarrollado en su obra, presentado en principio como un álgebra de clases, admite también una interpretación como lógica de proposiciones y como un álgebra de los números 1 y 0[2]. Sin embargo aquí presentaremos otra interpretación que se debe a Claude E. Shannon[3], la cual consiste en considerar las distintas expresiones del cálculo proposicional como circuitos que componen redes eléctricas.

A los efectos es importante señalar que un circuito eléctrico tiene precisamente un carácter bivalente, ya que admite dos estados distintos “encendido” y “apagado”. De modo que así como las fórmulas lógicas admiten dos valores de verdad, verdadero o falso, los circuitos eléctricos también admiten dos estados distintos. Pero estas no son las únicas analogías entre las fórmulas lógicas y las redes eléctricas. Del mismo modo que las fórmulas moleculares están compuestas por enunciados atómicos y su valor de verdad depende del valor de verdad de estos últimos; los circuitos están compuestos por contactos cuya situación de encendidos o apagados determina el pasaje o no de la corriente por la red. Y finalmente al igual que…las fórmulas compuestas pueden ser reescritas en base a los signos conectivos “v”, “.” y “- ”; los circuitos eléctricos se reducen a la disposición en serie o en paralelo.

Ahora bien, dado que como hemos visto, los enunciados atómicos tienen dos valores posibles y los contactos dos estados, podemos ahora interpretar las letras “p”, “q”, “r”, etc., que representaban en nuestra primera interpretar las letras “p”, “q”, “r”, etc., que representaban en nuestra primera interpretación enunciados atómicos, como contactos, de acuerdo con esto “p “, “q”, “r”, estarán en lugar de contactos que representaremos por figuras como las que siguen:

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Si comparamos esta tabla con la de la conjunción e interpretamos V como encendido y F como apagado veremos que describen exactamente la misma situación.

Consideremos ahora el caso de la disposición en paralelo de los contactos “p” y “q”.

Lámpara

En este caso parece claro que si uno de los dos contactos está en posición de encendido la lámpara está encendida y que la disposición en paralelo permite el flujo de la corriente de la batería a la lámpara aún en el caso de que uno de los contactos se encuentre apagado. Luego de la situación será:

Si comparamos ahora este cuadro con la tabla de la disyunción y veremos que describen exactamente la misma situación.

Si comparamos ahora este cuadro con la tabla de la disyunción y veremos que describen exactamente la misma situación.

Leyes del cálculo proposicional:

Veamos ahora algunas leyes del cálculo proposicional. En algunas de estas usaremos los símbolos “1” y “0” en lugar de “V” y “F”. El signo “1” puede entenderse según la interpretación que deseamos como “V” o como “Encendido” y el símbolo “0” como “F” o como “Apagado”. En adelante y en virtud de la simplicidad usaremos siempre los símbolos “1” y “0”.

Circuitos correspondientes a fórmulas:

Tracemos ahora el circuito correspondiente a la fórmula:

[ ( p . q ) v ( p v q ) ] . [ q v ( p . q ) ]

¿Es posible construir un circuito más simple que éste y que sea equivalente en el sentido de que se enciende exactamente en las mismas situaciones y se apague también en las mismas situaciones? A los efectos de responder a esta pregunta podemos tomar la fórmula original y tratar de simplificarla usando las leyes 1 a 19. si podemos transformar dicha fórmula en una más simple podremos también simplificar el circuito en consideración; y precisamente la fórmula simplificada de ese circuito será la fórmula obtenida a partir de la original.

Así, por ejemplo:

Fórmula original: [ ( p . q ) v ( p v q ) ] . [ q v ( p . q ) ]

Por ley 17 y 8 [ ( p . q ) .v ( p v q ) ] . q

Por ley 12 [ ( p . q ) . q ] v [ ( p v q ) . q ]

Por ley 10 [ p . ( q . q ) ] v [ ( p v q ) . q ]

Por ley 14 { ( p . q ) v [ ( p v q ) . q ] }

Por ley 16 ( p . q ) v q

Por ley 17 q

De acuerdo con eso, el circuito original es equivalente al circuito:

Esto quiere decir que cuando “q” está encendido el circuito original está encendido y cuando “q” está apagado, el circuito original está apagado. En virtud de esto, en lugar de construir el complejo circuito original, podemos construir el último circuito que siendo mucho más simple cumple con las mismas funciones.

Bibliografía utilizada:

• Caorsi, C. “Introducción a la lógica y sus aplicaciones”.

• Copi, I. “Introducción a la lógica”.

• Nudler. “Temas de lógica”.

• Nudler. “Elementos de lógica simbólica”.

[1] George Boole. “Análisis matemático de la lógica”. Ed. Cátedra, Madrid, 1979.

[2] Cf. Carosi, Carlos, E. “George Boole y los orígenes de la lógica simbólica” Revista sintaxis, Mdeo, 1976, p.19-27.

[3] Shannon, Claude, E. “A symbolic analysis of relay and switching circuits”, “Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, vol.57 (1938)”.

[4] Es importante notar que en la medida en que cualquier enunciado (y cualquier conectiva) puede escribirse usando sólo los signos concectivos “-”, “.” y “v”, podemos constituir el circuito correspondiente a cualquier expresión en base a los tres circuitos presentados. Para ello será suficiente llevar la expresión del caso a su FND y luego traducirla a un circuito compuesto solo por los tres circuitos que hemos presentado.