数学クイズ２

2.1 グラフの方程式

次のグラフの方程式を場合分けをせず，１つの式で表せ．

2.2 塀を表す方程式

別荘のまわりに塀を建てることになった。塀の上部は下の図のような形にしなければならない。その塀を担当したのが数学者で建築家のフランクだった。彼は大工の棟梁に、図面を渡す代わりに、塀の上部の形を表す方程式を渡した。その方程式はどのようなものであったろうか？ ただし、別荘は広大なので塀の長さは無限大と考えてよい。

2.3 立方体の怪

ある立方体を、それより小さい立方体にあけた穴に通すことはできるだろうか？

2.4 赤い点と青い点

平面上に赤い点と青い点がそれぞれ n 個ずつある．ただし，どの3点をとっても，同一直線上にはない．赤い点と青い点を1点ずつペアにして，n 組を作り，組の赤い点と青い点をそれぞれ結んだ n 本の線分がどれも交点を持たないようにできることを示せ．

2.5 多面体上のベクトル

多面体の各面に、直交外側向きで，長さがその面の面積と等しいベクトルを考える．それらのベクトルの和が零ベクトルとなることを示せ．

2.7 ピタゴラスの定理

比を用いてピタゴラスの定理を証明せよ。

2.8 たまには脳みそもストレッチ

円の面積は「円周率×半径×半径」で表されることは知っているものとして、つぎのS1、S2を求めよ。

S1＝ 半長軸a、半短軸bの楕円の面積

S2＝ 母線の長さa、底面の円の半径bの円錐の側面積

2.6 ３つの円

２つの円の共通外接線は２本引ける．これらの交点を２つの円の「焦点」とよぶ．３つの半径の異なる円（しかも，いずれも他に含まれていない）は３つの焦点を定める．これらの焦点は同一直線上にあることを示せ．