数学クイズ３

3.1 数学者の会話

ある日、2人の数学者イゴールとパヴェルが街角で出会つた。「やあ、元気かい？息子たちはどうだね？たしかきみのところは、息子が3人だったよね？いくつになるのかは覚えてないけど」とイゴールは言った。「そう、確かに息子は3人だ。3人の年齢の積は36になる」とパヴェルは答えた。そしてあたりを見回し、やおら近くの家を指さすと「しかも3人の息子の年齢の和は、あそこの建物の窓の数に等しい」と言つた。イゴールは少し考えてから「ねえパヴェル、僕にはまだ3人の年齢がはつきりしないよ」と答えた。「そうか、これを言うのを忘れていた。実はね、いちばん年上の息子は赤毛なんだ」とパヴェルは付け加えた。それを聞いてイゴールは、みごと息子たちの年齢を言い当てた。さあ、これだけのヒントで当てられるだろうか。

3.2 素数で遊ぼう

ｎは２でも３でもない素数である。このとき、n^(2)－1は24の倍数であることを示せ。

ただし、n^(2)は「nの2乗」を表す。

3.3 どのロッカーが開いているか？

廊下に１から100までの番号が振られたロッカーが一列に並んでいる。最初にやってきた人がすべてのロッカーのドアを開けていった。2番目に来た人は偶数番号のドアをすべて閉めていった。3番目の人は、3の倍数のロッカーのドアを、開いているものは閉めて、閉まっているものは開けていった。以下同様にして、100番目の人が通過した後、ドアの開いているロッカーの番号を答えよ。

3.4 「０と１」

任意の自然数 n に対して、10進表記で1と0からなる、０でない n の倍数が存在することを証明せよ。