入試問題 １

1.2 京都大学 2013

平行四辺形ABCD において, 辺AB を1 :1に内分する点をE, 辺BC を2 :1に内分する点をF, 辺CD を3 :1に内分する点をG とする。線分CE と線分FG の交点をPとし, 線分AP を延長した直線と辺BC との交点をQ とするとき, 比AP : PQを求めよ。

（この問題は，初等幾何，ベクトル，解析幾何など幾通りかの手法で解くことができます。）

1.4 早稲田大学2013

1辺の長さが1の立方体がある。

(1) この立方体の8個の頂点のうちの4個を頂点とする正四面体の体積を求めよ。

(2) この立方体の8個の頂点のうちの4個を頂点とする正四面体と，残りの4個を頂点とする正四面体の共通部分の体積を求めよ。

1.6 東京大学2014

座標平面の原点を O で表す。線分 y =√3 x (0≦ x ≦2) 上の点 P と，線分 y = -√3 x (-2≦ x ≦0)上の点 Q が，

線分OPと線分OQの長さの和が6となるように動く。このとき，線分 PQ の通過する領域を D とする。

(1) s を -3≦ s ≦2 をみたす実数とするとき，点( s，t )が D に入るような t の範囲を求めよ。

(2) D を図示せよ。