入試問題 ２

2.1 東京大学2014

aを自然数（すなわち1以上の整数）の定数とする。

白球と赤球があわせて1個以上入っている袋U に対して，次の操作(＊)を考える。

(＊) 袋Uから球を1個取り出し，

(i) 取り出した球が白球のときは，袋Uの中身が白球 a 個，赤球1個となるようにする。

(ii) 取り出した球が赤球のときは，その球を袋Uへ戻すことなく，袋Uの中身はそのままにする。

はじめに袋Uの中に，白球が a+2 個，赤球が 1 個入っているとする。この袋Uに対して操作(＊)を繰り返し行う。

たとえば， 1回目の操作で白球が出たとすると，袋Uの中身は白球a個，赤球1個となり，さらに2回目の操作で赤球が出たとすると，袋U の中身は白球 a 個のみとなる。

n 回目に取り出した球が赤球である確率をPnとする。ただし，袋Uの中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする。

(1) P1， P2 を求めよ。

(2) n≧3 に対してPn を求めよ。