Solution 1.4: 東京大学 2002

解答例１

赤い点の電位を１V，青い点の電位を０Vとし，円周上の任意の青い点から，円周に沿って時計回りに１周して，は

じめの青い点にもどる．このとき，通過する各弧の両端の電位は，両端の点の色が異なる場合のみ変化する（青から

赤に移るとき１Vアップし，赤から青へ移るとき１Vダウンする）．しかも，キルヒホッフの法則から，１周したとき

の電位変化の総和は０Vであるから，１周したときの１Vアップした回数と１Vダウンした回数は等しい．ゆえに，ア

ップ・ダウンの総数，すなわち両端の点の色が異なる弧の総数は偶数である．

解答例２

円周上の点に次の操作を加える．

（操作）：両端点が同色の円弧については，両端点の距離を縮めて０とし，両端点を１つの点にまとめる．

（上の操作を行っても両端点の色が異なる円弧の数は変化しない．）

いま，上の操作を，両端点が同色の円弧がなくなるまで行ったとしよう．このとき，円周上には赤の点と青の点が

交互に並んでいるから，赤の点と青の点の数は等しく，それらの和は偶数である。したがって，両端の色が異なる円

弧の数は偶数である．

minami