Harvard Natural Sciences Lecture Demonstrations

- Simple Harmonic (and non-harmonic) Motion

Pendulum Waves

keywords: simple harmonic motion, periodic motion, quantum revival, aliasing

What it shows:

Fifteen uncoupled simple pendulums of monotonically increasing lengths dance together to produce visual traveling waves, standing waves, beating, and random motion. One might call this kinetic art and the choreography of the dance of the pendulums is stunning! Aliasing and quantum revival can also be shown.

How it works:

The period of one complete cycle of the dance is 60 seconds. The length of the longest pendulum has been adjusted so that it executes 51 oscillations in this 60 second period. The length of each successive shorter pendulum is carefully adjusted so that it executes one additional oscillation in this period. Thus, the 15th pendulum (shortest) undergoes 65 oscillations. When all 15 pendulums are started together, they quickly fall out of sync—their relative phases continuously change because of their different periods of oscillation. However, after 60 seconds they will all have executed an integral number of oscillations and be back in sync again at that instant, ready to repeat the dance.

Setting it up:

The pendulum waves are best viewed from above or down the length of the apparatus. Video projection is a must for a large lecture hall audience. You can play the video below to see the apparatus in action. One instance of interest to note is at 30 seconds (halfway through the cycle), when half of the pendulums are at one amplitude maximum and the other half are at the opposite amplitude maximum.

Comments:

Our apparatus was built from a design published by Richard Berg ¹ at the University of Maryland. He claims their version is copied from one at Moscow State University. Dr. Jiří Drábek at Palacký University in the Czech Republic has informed us that it was originally designed and constructed by Ernst Mach when he was Professor of Experimental Physics at Charles-Ferdinand University (today known as Charles University) in Prague around the year 1867. The demonstration is used in the Czech Republic under the name Machuv vlnostroj—the "Wavemachine of Mach." The apparatus we have was designed and built by Nils Sorensen.

James Flaten and Kevin Parendo2 have mathematically modeled the collective motions of the pendula with a continuous function. The function does not cycle in time and they show that the various patterns arise from aliasing of this function—the patterns are a manifestation of spatial aliasing (as opposed to temporal). Indeed, if you've ever used a digital scope to observe a sinusoidal signal, you have probably seen some of these patterns on the screen when the time scale was not set appropriately.

Here at Harvard, Prof Eric Heller has suggested that the demonstration could be used to simulate quantum revival. So here you have quantum revival versus classical periodicity!

1 Am J Phys 59(2), 186-187 (1991).

2 Am J Phys 69(7), 778-782 (2001).

from "Harvard Natural Sciences Lecture Demonstrations"

https://sciencedemonstrations.fas.harvard.edu/presentations/pendulum-waves

ハーバード大学自然科学系講義のデモンストレーション

調和（と非調和）振動

ペンデュラムウェーブ

キーワード：単純調和運動、周期運動、量子復活、エイリアシング

表示内容：

長さが単調に増加する15個の非結合単振り子が一斉に振動（ダンス）して、視覚的な進行波、定在波、拍動、ランダムな運動を生成します。これはキネティック・アートと呼ばれ、振り子のダンスは見事なものです。また、エイリアシングや量子リバイバルを見せることも可能です。

動作の仕方：

振り子の集団運動の１サイクルの周期は60秒です。最も長い振り子の長さは、60秒の間に51回振動するように調整されています。さらに、振り子が短くになるにつれ、60秒間の振動回数が1回ずつ増えるように、振り子の長さは慎重に調整されています。こうして、15番目の最も短い振り子は60秒の間に65回の振動を行います。15個の振り子を同時にスタートさせると、振動の周期が異なり、相対的な位相が絶えず変化するので、すぐに同期がとれなくなります。 しかし、60秒後には、すべての振り子が整数回の振動を行い、その瞬間に再び同調し、ダンスを繰り返すことができるようになります。

セットアップ：

ペンデュラムウェーブを見るには、装置の上方から、あるいは下方向からがよい。大講義室の聴衆にはビデオ投影が必須です。下のビデオを再生して、装置が動いている様子を見ることができます。注目すべきは、ちょうどサイクルの半分、つまり30秒が経過したときです。このとき、振り子の半数は左端に、残りが右端に達しています。（注目すべき瞬間はこれ以外にもあります．）

コメント：

この装置は、メリーランド大学のリチャード・バーグ(1)が発表した設計図をもとに作られたものです。彼らのバージョンはモスクワ大学のものをコピーしたということです。 チェコ共和国パラツキー大学のイリ・ドレイベック博士によると、元々は1867年頃、エルンスト・マッハがプラハのカレルフェルディナンド大学（現在のカレル大学）の実験物理学教授だったときに設計・製作したものだそうです。チェコでは 「Machuv vinostroj」（マッハのウェーブマシン）という名称でデモ実験が行われています。 私たちの装置は、ニルス・ソレンセンによって設計・製作されたものです。

ジェームズ・フラテンとケビン・パレンド(2) は、振り子の集団運動を連続関数で数学的にモデル化しました。この関数は時間的に循環しておらず、彼らはこの関数のエイリアシングによってさまざまなパターンが生じることを示しました。パターンは（時間的ではなく）空間的エイリアシングの現れなのです。実際、デジタルスコープを使って正弦波信号を観察したことがある人なら、時間スケールが適切に設定されていないときに、画面上にこうしたパターンをいくつか見たことがあるのではないでしょうか。

ここハーバードでは、エリック・ヘラー教授が、このデモを量子復活のシミュレーションに利用することを提案しています。つまり、ここには量子復活と古典的周期性との対比があるのです。

(1) Am J Phys 59(2), 186-187 (1991).

(2) Am J Phys 69(7), 778-782 (2001).