床関数 floor function

floor function

定義： ⌊x⌋=floor(x)= max{n∈Z│n≤x}

実数 x に対して，x を超えない( x 以下の)最大の整数を⌊x⌋で表す。

性質 ∀x∈R ,∀n∈Z

① ⌊x⌋≤x<⌊x⌋+1

② x-1<⌊x⌋≤x

③ ⌊⌊x⌋⌋=⌊x⌋

④ ⌊n+x⌋=n+⌊x⌋

⑤ x>0 ,n>0 ⌊n/x⌋≥n/x-(x-1)/x

⑥ i =1n-1⌊im/n⌋ =(n-1)(m-1)/2∑(i=1to(n-1))⌊im/n⌋ =(n-1)(m-1)/2

グラフ

① y=⌊x⌋ ② y=⌊2x⌋ ③ y=⌊x^2 ⌋

④ y=⌊x3 ⌋ ⑤ y=⌊sinx⌋ ⑥ ⌊y⌋=⌊x⌋

レイリーの定理

α，βを1/α+1/β=1を満たす無理数とするとき，２つの数列{an}={⌊nα⌋}，{bn}={⌊nβ⌋}には共通項がなく，併せるとすべての整数を与える．