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Einstein, en la formulación de la relatividad restringida o especial, describe espacios vacíos sin masas, con una geometría plana tridimensional. Pero en la teoría de la relatividad general incluye el efecto de la gravedad que generan las masas, cuya distribución es la determinante en la curvatura del espaciotiempo.
La relación entre la geometría y la distribución de las masas está dada por las ecuaciones fundamentales de la relatividad general formuladas por Einstein. En esas ecuaciones se especifica cómo la distribución de las masas es la determinante de la curvatura del espacio en cada punto y, a su vez, cómo la geometría determina el movimiento de las masas. A su vez, tanto la geometría como el movimiento de los cuerpos, deben satisfacer una relación de autoconsistencia a lo largo de todo el espaciotiempo.
Ahora bien, cuando se habla de distribución de masas, el concepto encierra las posiciones, magnitudes, distancias y movimientos. Coloquemos como ejemplo una estrella. Estamos hablando de un astro de gran masa, pero que está contenida en un pequeño volumen. Lo anterior implica que la estrella genera en su vecindad una geometría distinta para el caso de que su volumen fuera mayor. Esto implica que la geometría cerca de la estrella puede ser sustancialmente distinta en uno u otro caso. Tomemos como ejemplo el Sol. Se trata de una estrella con una masa de 2 • 1030 Kg. y un radio de 700.000 Km. Pero hay estrellas, como las de neutrones, donde esa misma masa está contenida en una esfera de 10 Km de radio. O sea, se trata de un astro con un radio 70.000 veces menor al del Sol y con un volumen también menor de (70.000)3. Cerca de una estrella de neutrones tan densa el espaciotiempo tiene una curvatura enorme.
Por su parte, la Tierra, que tiene una masa de 6 × 1024 Kg. y un radio de 6.400 Km., ejerce en el espaciotiempo una curvatura insignificante, casi despreciable. Sin embargo, con el mismo tamaño pero másicamente semejante al Sol generaría una curvatura importante. Si con su misma masa se disminuyera su radio en forma significativa, hasta unos pocos centímetros, ocasionaría una gran curvatura en el espacio cercano a su superficie, el cual asumiría propiedades muy extrañas.
En cuanto al universo, dado su inmensidad, las distancias que se dan en él son casi inconmensurables; sin embargo, la cantidad de materia que aloja por unidad de volumen es bajísima cuando se compara con un cuerpo como la Tierra. Si se observa al universo a grandes escalas astronómicas, es decir, a millones de años luz, el espacio que se distingue es casi plano como una hoja de papel. No obstante, si la observación es focalizada hacia lugares cercanos se encuentra un aspecto rugoso. Ahora, si se considera la totalidad del universo, o sea su geometría global, ésta es curva.
La fuerza que ejerce una masa ubicada en un plano cercana a otra, en la teoría de la mecánica clásica se expresa por la ley de gravitación universal de Newton. Se trata de una fuerza determinada por el producto de las masas de los cuerpos interactuantes y es inversamente proporcional a la distancia entre ellas:
F = G × M × m / r2
En que G es la constante de gravitación universal que permite elegir o las unidades de las masas, o las unidades de fuerza. Se le dice universal, debido a que esta constante es absolutamente independiente de la naturaleza de la materia en cuestión. Por ejemplo, si una de las masas interactuantes tiene un valor unitario de un gramo o de un kilogramo, y la movemos por los espacios cercanos de otra masa M, la fuerza de gravitación sobre la masa unitaria mide la acción de la gravedad de M en todos los puntos. Ahora, si ponemos allí otra masa cualquiera m, la fuerza será m veces más o menos intensa. En efecto, como cualesquiera fuerza es el producto de la masa sobre la que actúa por la aceleración que adquiere ( F = m x a, si m = 1) midiendo la aceleración que cualquier cuerpo experimentaría en el mismo punto. Por ello, se puede decir que alrededor de cada masa M hay un campo de aceleraciones gravitacionales g = a, como efecto nada más que de la presencia de M. Luego, la aceleración gravitacional g es proporcional al centro másico de M e inversamente proporcional a la distancia, a través de la constante de gravitación G:
g = G × M / r2
Según la mecánica clásica, la acción gravitatoria de un cuerpo sobre otro es expresada a través de la ley de gravitación universal. Se interpreta como la acción directa que genera una masa sobre otra. Se trata de una acción que es trasmitida a través del espacio entre las masas que se hallan en él, la cual decrece en el inverso al cuadrado en función de la mayor distancia en que se encuentran ubicadas una de las otras. Su propagación entre las masas separadas en el espacio se efectúa a una velocidad infinita, ya que su efecto se considera que es producido instantáneamente. En realidad, esto es imposible, ya que la máxima velocidad de propagación de cualquier señal es la de la luz ( 3,00 × 1010 cm• s-1). Esto supone un gran fallo en la teoría de Newton, ya que no cuenta con ningún medio para considerar la velocidad de las acciones a distancia, lo que se constituye en un problema fundamental de la mecánica clásica.
Por su parte, la teoría de la relatividad de Einstein otorga una interpretación alternativa de la acción de las fuerzas gravitatorias. En efecto, en su formulación la presencia de una masa curva el espacio a su alrededor, cuyo efecto de esa curvatura es percibido por los cuerpos que se encuentran a cierta distancia como una fuerza que los «empuja» en cierta dirección. A su vez, las masas de los cuerpos distantes del primero también producen curvaturas en sus entornos espaciales, las cuales lo afectan. Este efecto de mutuas curvaturas, el cual es inducido por las respectivas masas, es equivalente a decir que gravitatoriamente interactúan directamente entre ellas; con la diferencia, eso sí, que el efecto gravitatorio que produce las curvaturas debe propagarse a la velocidad de la luz. Así, un cuerpo que se mueve, no influye instantáneamente en las curvaturas lejanas, sino que lo hace cuando llega allí la influencia de la masa que entró en movimiento.
En las ecuaciones de Einstein se expresa lo anterior, entre otras cosas, estableciendo una relación entre la curvatura del espaciotiempo en un punto y la distribución de masa y energía que existe allí.
La ecuación de campo de Einstein tiene esta forma:
equivalente a
indica que la curvatura del espaciotiempo en cualquier lugar del universo (término izquierdo de la ecuación) debe ser igual a la distribución tanto de la materia como de la energía en esa parte del universo (término derecho de la ecuación).
Densificando la fórmula, que constituye el corazón de la teoría de la relatividad general, en la cual Einstein dedujo matemáticamente la relación entre la geometría del espaciotiempo con la distribución de masa y energía, puede ser expresada como sigue:
en que el lado izquierdo describe la geometría del espaciotiempo y el lado derecho representa la distribución de masa y energía.
Ahora, tomando el significado intuitivo de esa ecuación de campo de Einstein, para llevarla a una formulación matemática más exacta y precisa:
donde Rmn es el tensor de Einstein (derivado de la curvatura tensorial de Riemann), gmn la función de g, R la curvatura escalar, l la constante cosmológica, y Tmn el tensor de energía.
Sin embargo, con el objetivo de comprender mejor los términos esenciales de la ecuación de Einstein, esquemáticamente se puede simplificar concurriendo a la suposición de que cada punto del espaciotiempo está constituido por una curvatura variable y una densidad másica, la cual queda expresada de la siguiente manera:
(Curvatura geométrica espaciotiempo) = G × (Densidad másica espaciotiempo),
donde G es la constante de gravitación de Newton.
Esta ecuación es de determinación dinámica, lo que incluye el movimiento de partículas libres y la luz y su desarrollo se efectúa en función de la ley de gravedad. La curvatura y la densidad de masa y energía están entre paréntesis porque son entidades matemáticas de cierta complejidad, ya que cada una de ellas están representadas por un conjunto de varios números, que forman el tensor que ya hemos expresado. Como ya se mostró que la energía equivale a masa, el tensor de densidad másica incluye las energías y presiones presentes. O sea, se transfiere a la ecuación la relación entre la masa y la energía según la definición de la relatividad restringida.
Se ha señalado que el espacio tiempo tiene cuatro dimensiones, lo que requiere una cantidad importante de números para describir su curvatura en todos los lugares y en cada dirección. En principio, para cada suceso se requieren hasta diez números para describir la curvatura. Ese conjunto de números orientado para cada punto, que puede sufrir variaciones de uno a otro, es decir, son funciones de las coordenadas, se denomina «tensor de curvatura» y describe la geometría del espaciotiempo.
Ahora bien, para especificar la geometría del espaciotiempo se usan los valores del intervalo relativista de un lugar cercano alrededor de cada suceso. En principio, el intervalo puede ser medido o descrito explícitamente por medio de un registro de números o de alguna fórmula como función de un sistema de coordenadas que sean previa y adecuadamente elegidas. Ello dará una estrecha relación entre esas expresiones del intervalo y la curvatura del espaciotiempo resultante, la que, no obstante, puede variar entre los diversos sucesos. Estas relaciones matemáticas son bastante complejas y constituyen parte del andamiaje formal en relatividad general.
Por otra parte, resolviendo las ecuaciones de Einstein y especificando la densidad másica en todos los lugares del espacio, en principio, se puede obtener la curvatura en todos ellos. Al revés, sí se conoce la curvatura, se puede derivar la densidad másica. Se trata de ecuaciones diferenciales, que van dando punto a punto la relación entre curvatura y distribución de masas. Se resuelven en el área del espacio de interés, considerando las condiciones de masa y curvatura en los bordes de la zona en estudio. En general, como todas las ecuaciones diferenciales que ligan los valores de una variable a los valores y variaciones de otras, sólo es posible ir construyendo la solución paso a paso hasta llegar a un borde, donde se debe ajustarla a las condiciones o antecedentes que se conocen del lugar, lo que se llama fijar las condiciones de borde. Así, es necesario conocer o suponer las condiciones de masa en el contorno del área donde se requiere resolverlas, lo que puede ser hasta distancia infinita. Por ejemplo, si interesa encontrar la curvatura alrededor de una estrella que está prácticamente aislada, se puede suponer que lejos de ella el espacio es esencialmente plano, porque las estrellas están tan alejadas unas de otras que individualmente no interactúan mucho entre sí. Pero la solución encontrada no será válida si se le quiere aplicar demasiado lejos de la misma estrella, ya que entonces se debe considerar la presencia de cuerpos lejanos. O también se puede plantear el problema del espaciotiempo del universo global, donde no hay condiciones de contorno porque no hay borde del universo. En consecuencia, se tienen que imaginar condiciones similares que se aplican a un espacio sin bordes.
La teoría del espaciotiempo de Einstein revolucionó la Física, ya que la curvatura y la geometría del espacio son variables al depender de la distribución de las masas y del movimiento de éstas. En el universo la ubicación de las masas depende de su historia, la que envuelve la evolución de la misma geometría. La curvatura del espaciotiempo es algo dinámico, cambiante. Esto nos otorga una visión de un espaciotiempo dinámico, evolutivo. No es un espacio como el de la física galileana o newtoniana, que preexiste a los cuerpos, que permanece inmutable frente a su presencia o sus desplazamientos. Lo que surge de la teoría de la relatividad general es que el espacio se genera y modifica porque hay masas y éstas lo influencian. La distribución de la materia, sus densidades, su ubicación, sus movimientos, determinan el espacio mismo. El espacio depende de los cuerpos. A su vez, las variaciones del espacio los influencian, actúan sobre ellos, y determinan su distribución y sus movimientos.
Las ecuaciones de Einstein ligan específicamente geometría y materia. Para determinar la evolución del universo hay que resolverlas de manera autoconsistente. La geometría del espaciotiempo básicamente se deriva del valor del intervalo relativista, determinado entre todos los sucesos. Éste se obtiene de las ecuaciones de Einstein, que lo ligan a la distribución de las masas. Esta propiedad dinámica del espacio implica que adquiere una entidad totalmente diferente al caso clásico. En éste, la forma de la separación espacial era muy sencilla e invariante, ya que no cambiaba con el tiempo ni con la presencia de los objetos.
A continuación, se describe un ejemplo del desarrollo de esas ecuaciones.
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