MAT-3053-2

Ressources, explications, démonstrations et liens pour le cours de représentation géométrique en FBD, secondaire III

Mathématique troisième secondaire. Le chapitre 3 est dédié aux notions abordées dans le cours MAT-3053. On y trouve des activités sur les solides et sur les perspectives.

Le théorème de Pythagore

Quiz sur une vidéo:

Les solides

Objectif d'apprentissage: construction ou représentation de figures au moyen de procédés divers. Les différents types de projection et de représentation d'objet en 3 dimensions sont également vus dans les cours de science-techno de secondaire III et de secondaire IV.

Compétences transversales proposées

• Exploiter les technologies de l'information et de la communication
• Mettre en oeuvre sa pensée créatrice

Domaines généraux de formation proposés

• Vivre ensemble et citoyenneté
• Environnement et consommation

Dans le cours de représentation géométrique, l'élève adulte doit pouvoir représenter un objet en 3D. Pour ce faire, il peut utiliser différents procédés. Pour étudier ces procédés, nous utiliserons les logiciels Geogebra (logiciel de géométrie dynamique) et Google Sketchup (logiciel de dessin 3D). Ces deux logiciels sont gratuits et doivent être installés sur l'ordinateur. Ils existent en version française.

Ressources pour Sketchup: http://recitmst.qc.ca/, Tutoriels pour débuter avec SketchUp

Impression de papier axonométrique: http://incompetech.com/graphpaper/vartriangle/

Impression de papier isométrique: http://www.mathslibres.com/papiergraphique.php

Le théorème de Pythagore, aspects mathématique et historique. Cours très complet avec quelques problèmes.

Les solides de Platon en projection stéréographique

Magnifique vidéo:

Les projections servent à donner l'illusion du 3D avec des dessins 2D.

Types de projection

Projections parallèles

Projections orthogonales

Représentation à vues multiples: Un objet peut être représenté selon six vues: face, dos, côté droit, côté gauche, dessus et dessous. Habituellement, deux ou trois vues suffisent. La représentation des différentes vues conserve les dimensions et les angles de l'objet. Ce type de représentation en facilite l'étude.

Perspective axonométrique: L'observateur est face au plan de projection et les fuyantes peuvent être à 30° ou 45°. Ce type de dessin conserve également le parallélisme des arêtes, toutefois, il n'y a pas de plan parallèle à l'observateur. Lorsqu'on observe la représentation de la commode, nous avons l'impression qu'elle est bancale.

En traçant des droites sur les arêtes des côtés, on en constate le parallélisme. Par contre, les côtés qui devraient être perpendiculaires ne le sont pas.

Source de l'image de la commode: http://fr.wikipedia.org/wiki/Perspective_axonom%C3%A9trique

Projection isométrique: Type particulier de la projection orthogonale où les trois axes possèdent le même angle entre eux. Cette représentation est étudiée dans les cours de science-techno. Le logiciel Geogebra offre l'option d'une grille isométrique.

Projection oblique selon une perspective cavalière

Exemple d'un cube représenté en 3D à l'aide d'une perspective cavalière. L'angle de l'arête fuyante est de 45 degrés. Vous pouvez télécharger le fichier ici: Télécharger. L'ouverture de ce fichier requiert le logiciel GeoGebra. Le fichier vous permet de manipuler la figure en déplaçant les points A, B, E ainsi que l'angle de l'arête. Cliquez sur la figure pour l'afficher en pleine grandeur.

Le dessin en perspective cavalière conserve le parallélisme des arêtes, leur alignement et le rapport des distances sur les segments parallèles. Ainsi, les arêtes parallèles sur l'objet à représenter le sont également sur le dessin. Cela permet d'en étudier les caractéristiques affines. Sur le dessin ci-haut, les faces de côté, de dessus et de dessous paraissent des parallélogrammes. Les angles droits de l'objet mesurent 45 ou 135 degrés sur le dessin pour les côtés, dessus et dessous. Seules les faces devant et derrière ont les dimensions réelles. De plus, afin de donner l'impression d'un cube, les mesures des arêtes du côtés sont réduites sur le dessin (facteur de réduction d'environ 0,5).

Projections centrales

Exemple d'un cube dessiné en 3D à l'aide du logiciel Sketchup et importé dans le logiciel Geogebra. En traçant des droites sur les arêtes, nous pouvons voir les deux points de fuite.

Ici, seuls les plans verticaux conservent le parallélisme.

Exemple d'une autre cube en 3D, mais avec trois points de fuite.

Ces représentations donnent une image plus réaliste du 3D. Par contre, le parallélisme n'est plus respecté.

Ressources externes

Série de vidéos sur les solides et les représentations: Conçues par un enseignant en FGA à la CSDL.

Ressources du Centre de développement pédagogique. Ces documents faits pour les cours de science-techno.

• Petit résumé sur les types de projections
• Tableau comparatif

Dans cette vidéo, tous les plans sont filmés avec un seul point de fuite:

http://player.vimeo.com/video/48425421

La perspective dans le cadre de cours d'art, Jérémy Mariez. On peut y voir qu'il peut y avoir plus de trois points de fuite. Intéressant pour aller plus loin.

Sur Wikipedia (anglais): article sur les perspectives avec plusieurs images sous licence Wikimedia Commons.

Site de Sylvain Lacroix: lien géométrie, sens spatial. Document très bien fait sur les différences projections.

Autres documents où les différents types de projection sont bien représentés: Perspectives axonométriques et projections centrales, ces deux documents sont très complets avec plusieurs images et explications.

Lexique mathématique: Les projections

Dossier sur l'initiation à la géométrie sur le site de Futura-Science.

La perspective en art, en fabrication et dans l'histoire

http://laperspective.canalblog.com/, l'histoire et les techniques.

http://nvogel.pagesperso-orange.fr/Dossiers/FichiersPersp/perspective/PerspCentrale.htm (voir également les perspectives à point de fuite). Exemples avec des tableaux de grands peintres.

Applications

Différences entre la projection orthogonale et la projection centrale d'une rue. Sur Google Maps, l'affichage en plan permet de voir les distances réelles. Le parallélisme de la rue est évident alors que sur la vue photo, on voit bien que le parallélisme des deux côtés de la rue n'est pas respecté.

Situations-problèmes

Dessin: On veut représenter un cube avec la projection en perspective cavalière et avec un point de fuite. Est-ce que, sur le plan, la mesure du côté sera la même peut importe le type de projection? Quel sera le rapport entre cette mesure et la mesure réelle du côté?

Construction: Si j'ai à construire un objet à partir d'un plan, quel type de projection me sera le plus utile? Est-ce qu'un seul type est suffisant? Quel(s) type(s) de plan retrouvons-nous dans les boîtes d'objets nécessitant un assemblage?

Activité à faire avec SketchUp

• Afin de visualiser les capacités et les rapports de volume, construire un cube dont les arêtes sont de 1 mètre et un autre dont les arêtes sont de 0,1 mètre. Sélectionner et déplacer le petit cube sur le gros cube pour voir combien il faudra de petits cubes pour remplir le gros cube.
• Faire le même genre d'exercice avec d'autres formes.
• Afficher les différentes vues des formes que vous avez faites.
• Construire un objet réel (avec des blocs Lego ou autres) à partir d'un plan fait sur SketchUp.
• Faites le plan, à l'échelle, d'un objet. Notez que vous pouvez afficher différentes vues de vos dessins dans le menu Camera.

Tutoriel pour le logiciel SketchUp, plusieurs niveaux offerts de débutant à expert: Vidéos didacticiel sur le site de Google, ils sont en anglais, mais vous pouvez avoir un sous-titrage en français.

Autres tutoriels: http://fr.tuto.com/sketchup/, Adebeo.com

Articles à lire: La modélisation 3D accessible à tous, Tutoriels pour débuter avec SketchUp

Créer un prisme rectangulaire avec SketchUp

Déplacer un prisme pour le mettre dans une boîte