Física clásica
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Mecánica Newtoniana
Mecánica Lagrangiana
Sistemas dinámicos y caos
El atractor de Rössler es un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales diseñado en 1976 por el bioquímico alemán Otto Rössler. Fue creado originalmente para simplificar el complejo atractor de Lorenz y demostrar que el comportamiento caótico puede surgir de un modelo con la mínima estructura no lineal posible (un solo término no lineal).
Fue descubierto en 1963 por el meteorólogo Edward Lorenz mientras trabajaba en un modelo matemático simplificado para predecir la convección atmosférica. Lorenz observó que diferencias minúsculas en los datos iniciales (como redondear de .506127 a .506) producían resultados completamente diferentes en poco tiempo, fenómeno conocido popularmente como el efecto mariposa.
La relación entre el electrocardiograma (ECG) y la teoría del caos marca un cambio de paradigma en la medicina: pasar de ver el corazón como un reloj mecánico a entenderlo como un sistema dinámico complejo y no lineal.
Tradicionalmente, se pensaba que un ritmo cardíaco perfectamente regular era signo de salud; sin embargo, el análisis del caos revela que un corazón sano es intrínsecamente "caótico" y flexible.
La conjetura de Collatz es un problema no resuelto de la teoría de números que establece que, al aplicar las reglas (si es par) o (si es impar), cualquier entero positivo eventualmente llega al ciclo . Aunque es matemática pura, su comportamiento caótico e impredecible la vincula con la física teórica y la complejidad.
La conjetura exhibe un comportamiento que recuerda a los sistemas dinámicos no lineales, donde pequeñas variaciones en el número inicial (condición inicial) producen trayectorias salvajemente diferentes antes de colapsar en el atractor .
La secuencia de Fibonacci (0,1,1,2,3,5,8,...) y el caos natural están conectados por la aparición de esta serie numérica en patrones de crecimiento biológico, como espirales en girasoles, piñas y conchas. Esta secuencia (donde cada número es la suma de los dos anteriores) genera una proporción áurea (1.618), maximizando la eficiencia espacial en entornos aparentemente caóticos.
Fue introducida en Occidente por Leonardo de Pisa (Fibonacci) en 1202 en su libro Liber Abaci para modelar un problema de crecimiento poblacional de conejos.
Péndulo forzado
Introducción
Introducción
La física estudia las propiedades e interacciones de la materia, procesos, transformaciones y manifestaciones que se relacionan con ella. Históricamente se han realizado tres formulaciones principales, que se las debemos a Newton, Lagrange y Hamilton.
La forma o formulación de Newton hace hincapié en la existencia de fuerzas. Conocidas las fuerzas que actúan sobre un sistema se calcula su dinámica. Esto tiene como consecuencia que el primer esfuerzo que el físico realiza para trabajar con este enfoque es realizar un dibujo figurativo del sistema en el que se pintan todas las fuerzas, y luego se aplica la segunda ley con la finalidad de calcular las aceleraciones. Tiene el problema de que si las coordenadas no son cartesianas la forma que toma la segunda ley puede ser complicada, pero en todo caso el protagonista son las fuerzas.
La segunda forma de enfocar la mecánica fue la de Lagrange. No parte del concepto de fuerza, sino del concepto de acción. La acción es la energía involucrada en un proceso físico multiplicada por la cantidad de tiempo, y se descubrió que la acción es mínima en cualquier proceso natural. En clave de humor se le ha llamado a esta ley la «ley de la pereza cósmica», ya que parece que las cosas suceden en el universo de forma que la energía involucrada sea la menor posible, y durante el menor tiempo posible. De este descubrimiento derivó fórmulas para el cálculo de la evolución mecánica de un sistema, y el modelo matemático se denomina mecánica Lagrangiana.
Los conceptos de de acción y acción mínima hoy en día están a la misma altura que la ley de conservación de la energía, y debidamente reformulados, forman parte de las bases de la de la teoría cuántica.
En relación con la tercera descripción de la mecánica clásica, la de Hamilton, parte del deseo de simplificar las ecuaciones de Lagrange. Para ello trabaja intensamente con los cambios de sistemas de coordenadas, consiguiendo un modelo matemático sumamente simétrico, y por tanto bello a los ojos de los físicos, denominado Mecánica Hamiltoniana.
El estudio de la física clásica en la actualidad incluye:
Mecánica clásica:
Leyes de movimiento de Newton.
Los formalismos clásicos Lagrangianos y Hamiltonianos.
La mecánica de medios continuos que incluye la mecánica de sólidos deformables y la mecánica de fluidos.
Termodinámica clásica.
Teoría clásica de campos
Electrodinámica Clásica (ecuaciones de Maxwell).
Teoría General de la Relatividad.
Teoría de la Relatividad Especial.
Teoría del Caos clásica y dinámica no lineal general.
Mecánica Newtoniana
Mecánica Newtoniana
La mecánica newtoniana se basa en la aplicación de las Leyes del movimiento de Newton que asumen que los conceptos de distancia, tiempo y masa, son absolutos, es decir, el movimiento está en un marco inercial. La idea newtoniana de la separación completa del espacio y el tiempo, y el concepto absoluto del tiempo, son violados por la Teoría de la Relatividad. Sin embargo, para la mayoría de las aplicaciones prácticas, los efectos relativistas son insignificantes y la mecánica newtoniana es una descripción adecuada a bajas velocidades.
Se clasifica en:
Cinemática: Estudia el movimiento de los cuerpos sin considerar las fuerzas que los causan.
Dinámica: Estudia los movimientos causados por las fuerzas que actúan sobre los cuerpos.
Trabajo y Energía
Colisiones
Cuerpo Rígido
Fluidos
Termodinámica
Oscilaciones
Campo Gravitacional
Mecánica Lagrangiana
Mecánica Lagrangiana
La mecánica lagrangiana es una reformulación de la mecánica clásica introducida por Joseph-Louis de Lagrange en 1788. En la mecánica lagrangiana, la trayectoria de un objeto es obtenida encontrando la trayectoria que minimiza la acción, que es la integral del lagrangiano en el tiempo; siendo este la energía cinética del objeto menos la energía potencial del mismo.
La formulación lagrangiana simplifica considerablemente muchos problemas físicos. Por ejemplo, los sistemas de referencia inerciales son tratados en pie de igualdad y a diferencia de las leyes de Newton la forma de las ecuaciones del movimiento no depende del sistema de referencia elegido.
En esta seccion se describe de forma analítica y gráfica diferentes sistemas pendulares, de acuerdo a la evolución de su movimiento en un periodo de tiempo, en este análisis, se utilizan herramientas teóricas y conceptuales de la mecánica Lagrangiana y de la geometría analítica. Se establecen las representaciones del movimiento, sus propiedades y configuración de los sistemas.
Sistemas dinámicos y caos
Sistemas dinámicos y caos
En esta seccion se estudian algunos sistemas físicos que pueden presentar un comportamiento caótico. Se utiliza el formalismo de Lagrange para obtener las ecuaciones diferenciales de movimientos que resultan ser ordinarias de segundo orden no lineales y acopladas, las que se resuelven numéricamente utilizando programas gráficos como LabVIEW, Geogebra y Modellus, estos programas resuelven las ecuaciones EDO mediante el método de Runge Kutta 4 y permiten representa el movimiento del sistema mediante una animación en el espacio real, con lo cual se logra analizar y describir directamente el comportamiento del sistema en términos de sus parámetros relevantes. Las figuras que se presentan y que corresponden a las animaciones durante un tiempo t, muestran las trayectorias reales seguidas por cada uno de los sistemas, observándose que éstos pueden realizan tanto movimientos rotatorios como oscilatorios, dando cuenta de esta forma de la complejidad del movimiento.
Los sistemas dinámicos procedentes de aplicaciones físicas tienden a ser disipativos: si no fuera por alguna fuerza externa el movimiento cesaría. La disipación puede proceder de fricción interna, pérdidas termodinámicas o pérdida de material, entre otras causas. La disipación y la fuerza externa tienden a combinarse para eliminar el transitorio inicial y hacer entrar al sistema en su comportamiento típico. La parte del espacio de fases del sistema dinámico que corresponde al comportamiento típico es el atractor.
Un atractor es el conjunto de trayectorias al que el sistema evoluciona después de un tiempo suficientemente largo. Para que el conjunto de trayectorias sean un atractor, las trayectorias que le sean suficientemente próximas han de permanecer próximas incluso si son ligeramente perturbadas. Geométricamente, un atractor puede ser un punto, una curva, una variedad o incluso un conjunto complicado de estructura fractal conocido como atractor extraño. La descripción de atractores de sistemas dinámicos caóticos ha sido uno de los grandes logros de la teoría del caos.
Los atractores son partes del espacio de fases del sistema dinámico. Hasta los años 60, se creyó que los atractores eran conjuntos geométricos del espacio de fases (puntos, líneas, superficies o volúmenes) y que los conjuntos topológicamente extraños eran frágiles anomalías. El punto fijo y el ciclo límite son atractores simples o clásicos. Cuando los conjuntos son complicados de describir, nos encontramos ante un atractor extraño.
Los sistemas dinámicos suelen ser definidos en términos de ecuaciones diferenciales. Estas ecuaciones describen el comportamiento del sistema para un período breve. Para determinar el comportamiento del sistema para períodos más largos es necesario integrar las ecuaciones, ya sea analíticamente o por métodos numéricos (iteración), para lo que se ha hecho imprescindible la ayuda de los computadores.
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