חידמטיקה #7

אילן:
"או הו...איך שגלגל מסתובב לו..."

בר:
"אילן, אתה שר לעצמך שירים? אולי אתה מרגיש לא טוב? אולי יש לך סחרחורת?"

אילן:
"זה שיר ממש יפה שכתב יענק'לה רוטבליט...ואולי יש לי קצת סחרחורת...מהתרגשות לקראת החג!"

בר:
"אני שמחה שאתה מתרגש לקראת פורים, למרות שיש עוד שבוע...
אה, או אולי אם אתה שר שירים על גלגל מסתובב – אתה בכלל מתכוון ליום הפאי שחל היום?"

אילן:
"בדיוק, ואפילו לא שמתי לב שפורים מתקרב...
אני חייב למצוא איזו תחפושת מגניבה, אולי זו גם תהיה הזדמנות עבורי לחקור נושא מדעי חדש...
יש לך רעיון כלשהו בשבילי?"

בר:
"כן, אם כבר גלגלים מסתובבים, זה נותן לי רעיון!
אתה יודע למה יש גלגלים מסתובבים והוא נושא ממש מרתק מבחינה הנדסים ומתמטית? לרכבת!
בזכותך אני חושבת שעכשיו יש לי גם רעיון לנושא שעליו אנחנו יכולים לעשות את יצירת התוכן המתמטי שלנו!!"

אילן:
"או, רכבות! אני מטורף על רכבות! ואני גם אשמח לעשות איתך יצירה לתחרות התוכן המתמטי.
אבל עכשיו כשאני חושב על זה, יש לנו תחרות אחרת שאנחנו צריכים להתייחס אליה קודם...
יום חמישי היום וצריך חידה! אולי משהו על גלגלים מסתובבים?"

בר:
"גלגלים מסתובבים! אז אני מסובבת את הגלגלים במוח ומחפשת!
הנה! מצאתי פרט מידע מדליק על גלגלים מסתובבים:
אם שני גלגלים סמוכים זה לזה מסתובבים ללא החלקה, אז בהכרח אחד מהם יסתובב עם כיוון השעון, ואילו השני יסתובב עם הכיוון המתמטי...
ואם אתה לא יודע מה זה הכיוון המתמטי, אתה יכול כמובן לחפש באינטרנט..."

אילן:
"בר, זה מגניב, אבל כמו שאת תמיד אומרת לי - חייבים להתרכז!
בואי נדמיין שורה של גלגלים מסתובבים, נניח..."

בר:
"6 גלגלים! כי 6 הוא מספר מושלם, אם אתה זוכר...
נמדוד את הקוטר של הגלגל השמאלי. רק חשוב שנסביר ונזכיר מהו קוטר..."

אילן:
"ברור - קוטר של מעגל הוא כל קטע העובר המחבר בין שתי נקודות על המעגל, ועובר במרכזו.
או בקיצור, מיתר שעובר דרך מרכז המעגל.
או, אפשר לחשוב עליו כעל קטע שמחלק את המעגל בדיוק באמצע"

בר:
"אוקיי. מצוין. עכשיו נמדוד גם את מספר הסיבובים שהמעגל עושה בדקה"

אילן:
"יפה. עכשיו נגיד שהמעגל השלישי משמאל (שהוא גם הקטן ביותר) מבצע סיבוב אחד בשנייה.
נבקש למצוא את קוטר המעגל הזה"

בר:
"מגניב. נשמעת חידה מצוינת"

אילן:
"יש! אני רץ להביא מטר ולהתחיל למדוד"

בר:
"קדימה אילן...רק לא לרוץ בסיבובים"

מוזמנות ומוזמנים לפתור את החידמטיקה בתמונה המצורפת.

מה התשובה? (לחצו כאן כדי להציג)

התשובה היא: 3.14

ליהיא, תלמידת התוכנית בקבוצת ו' בגבעתיים, ידעה מיד מה תהיה התשובה ביום שכזה, ובכל זאת גם פתרה והסבירה:

"קודם כל לא משנה מה הייתה השאלה התשובה תהיה פאי. ככה זה ביום שכזה.

מכיוון שכל הגלגלים זזים ביחד הם מבצעים כל אחד את אותו המרחק בדיוק.
ככל שהגלגל יותר גדול הוא יסתובב יותר לאט כי כך ישלים פחות סיבובים לדקה.

מכיוון שהגלגל השמאלי מסתובב פי 5 יותר לאט מהגלגל הקטן אז היקפו גדול פי 5 מהיקף הגלגל הקטן.
יחס ההיקפים זהה ליחס הקטרים ולכן הקוטר של המעגל הקטן יהיה פי 5 קטן מקוטר המעגל השמאלי. 15.7 לחלק ל 5 זה 3.14"

_____________

אריאל, תלמיד התוכנית בקבוצת ו' בראש העין, פתר את השאלה וגם חשף את התכנון של מחבריה:

"דבר ראשון שקפץ לי לראש זה למה בחרו לשאלה מספר מוזר כזה 15.7? חשוד מאד!

הגלגלים מסתובבים ללא החלקה וזה אומר שההיקפים שלהם צמודים והיחס בין הסיבובים יהיה כיחס בין ההיקפים.
גלגל יותר גדול יסתובב פחות מהר ולהפך.
למשל אם יש גלגל שההיקף שלו פי 5 יותר קטן הוא יסתובב חמישה סיבובים בזמן שהגדול מסתובב סיבוב אחד.

מכיוון שההיקף גדול פי פאי מהקוטר, וזה נכון לכל מעגל, אז הכלל שכתבנו למעלה מתקיים גם עבור הקטרים (וגם הרדיוסים).
כלומר, גלגל שהקוטר שלו פי 5 יותר קטן יסתובב פי 5 יותר מהר, כי בעצם חילקנו את שני ההיקפים של הגלגלים בפאי אז זה עדיין אותו יחס.

עכשיו נענה על השאלה:
הגלגל הגדול מבצע 12 סיבובים בדקה. נעבור ליחידות של שניות על ידי שנחלק ב 60, כלומר הגלגל הגדול מבצע חמישית (1/5) סיבוב בשנייה.
הגלגל הקטן לעומתו מסתובב סיבוב אחד בשנייה, כלומר פי 5 יותר מהר מהגלגל הגדול.
לכן, ההיקף של הגלגל הקטן הוא פי 5 פחות מההיקף של הגלגל הגדול.
כמו שאמרנו זה נכון גם עבור הקוטר ולכן הקוטר של הגלגל הקטן הוא פי 5 פחות מקוטר הגלגל הגדול. נחשב:

15.7:5=3.14

שזה כמובן חושף את התכנון של מחברי השאלה שהינדסו אותה לרגל יום הפאי"

___________

כל הכבוד לכל מי שפתרו את השאלה - וגילו את ההינדוס הקטן שלנו!

Page updated

Google Sites

Report abuse