חידמטיקה #12

ניקוד מיוחד לחידמטיקת פסח!

10 נק' - לעונים עד מוצ"ש בשעה 22:00
8 נק' - לעונים עד יום ראשון בשעה 13:00
4 נק' - לעונים עד יום שני בשעה 12:00
2 נק' - לכל מי שישלחו תשובה נכונה (עד סגירת החידה למענה - יום ד' ב-8:00)

אילן:
"ראית את מה שהם שלחו על תחרות התוכן המתמטי? כבר התחלת לעבוד על משהו?"

בר:
"כן, אני מנסה הפעם להתחיל בזמן ולא לדחות לדקה ה-91 אבל אני לא משוכנעת שזה יעבוד לי, כי אתה יודע - חוק הופשטטר..."

אילן:
"כן, אני אוהב את החוק הזה, ואת יודעת שגם אני סובל מדחיינות.. אבל אני מתעקש לא לוותר לעצמי.
זה נכון שיש כאן קושי, אבל את זוכרת? - קושי, סבלנות, מאמץ - בסוף קורה קס"ם (גם אם הוא מתעכב מעט 😅).

אגב, את יודעת מה ממש ממש קשה?"

בר:
"אילן, שוב אתה והשאלות הפתוחות שלך...
יש הרבה דברים ממש קשים. למשל יהלום הוא החומר הכי קשה בטבע, להבין אותך זה לפעמים קשה, ו..."

אילן:
"טוב, טוב - את באמת לא יכולה להיות בתוך הראש שלי. אני רק רציתי להגיד שממש קשה לצאת מחורים שחורים.
אלו אזורים בחלל שבהם מרוכזת מסה של כוכב באזור מאוד מצומצם.
בגלל שהמסה של החור גדולה כל כך, כוח המשיכה שלו כל כך חזק, שהוא פשוט שואב לתוכו הכל! אפילו אור!"

בר:
"וואו, אני אגיד לך את האמת... אני לא עד כדי כך מתעניינת בעולם החלל, אבל הצלחת לסקרן אותי!
אני יכולה לדמיין למשל שאם כדור הארץ היה בדיוק עם אותה המסה אבל הרבה יותר דחוס, אז כוח המשיכה שלו היה גדול יותר.
מעניין אם יש בעולם המתמטיקה משהו שמקביל לחורים שחורים..."

אילן:
"אני בטוח שאם תחשבי על זה עוד רגע - תמצאי משהו..."

בר:
"המממ... האמת, שיש לי רעיון! אבל אני לא אגלה לך אותו, כי זה עלול להיות רמז..."

אילן:
"רמז למה בר? לחידה השבועית? כבר הספקת לחשוב עליה?"

בר:
"כן, זו חידה על סדרות של מספרים שנשאבות לחורים שחורים.
למעשה החוקיות הזו של המספרים כנראה תגרום לכל סדרה להגיע בסופו של דבר לחור שחור, אבל זו רק השערה...

אני לא יודעת בכלל אם קיימת הוכחה או הפרכה של הטענה הזו שלי. בדקתי אותה עם מתמטיקאי שאני מכירה ואפילו הוא לא ידע!"

אילן:
"בר, יכול להיות שהיום את קצת נסחפת?"

בר:
"אולי, אני רק מקווה שזה לא לחור שחור...
בכל מקרה - הנה סדרה אחת מהמשפחה הזו.
היא מתחילה ב-38. צועדים צעד אחד - ומגיעים ל-62. צעד שני יביא אותך ל-74, ושלישי אל 102 - שהוא 'חור שחור'"

אילן:
"מה הכוונה שהוא חור שחור? שהוא שואב את הכל?"

בר:
"בדיוק! צעד רביעי - ישאיר אותך ב-102, וגם הצעד החמישי, השישי, .... - לא תוכל להיחלץ יותר מ-102 לעולם!"

אילן:
"ומה יקרה נניח אם אני אתחיל עם מספר נחמד כמו 41?"

בר:
"תן לי לחשב רגע... אמממ... זהירות! חור שחור בעוד 4 צעדים לפניך!

41, 45, 65, 95, 140, 140, 140, ...."

אילן:
"או, וואו! ואני והתלמידים צריכים להבין את החוקיות?"

בר:
"כן, אבל זה לא מספיק, כי הפעם יש להם כמעט שבועיים לפתרון!
אז אחרי שתמצאו את החוקיות, אני רוצה מספר - כזה שאם נתחיל בו יהיו לנו בדיוק 27 צעדים עד ל'חור השחור'"

אילן:
"27? יש בו משהו מיוחד?"

בר:
" ברור אילן, כל מספר הוא מיוחד!
אבל אולי לאכזבת משפחת נוף, הפעם אין בו משהו מיוחד שקשור לחידה, אלא אם... אולי התלמידים ימצאו כזה?"

אילן:
"טוב, רגע - אבל יש רק מספר אחד כזה - יש לו 27 צעדים עד לחור השחור?"

בר:
"אילן, היום יש לך קושיות טובות! גם את זה אני לא יודעת, מעניין אם אולי גם לזה נקבל איזה פתרון אחרי הפסח?
אבל אתה צודק, צריכים תשובה חד משמעית! אז אני אומרת - אם יש כמה - תן לי את ההכי קטן"

אילן:
"טוב, אני נכנס לחללית ויוצא למשימה - 3, 2, 1, .... "

🚀

_______________

מוזמנות ומוזמנים לפתור את החידמטיקה בתמונה המצורפת.

מה התשובה? (לחצו כאן כדי להציג)

התשובה היא: 127

_____________

אך לפני הנימוקים -
שמחנו מאוד לקרוא על מחקרים נוספים שערכתם בסדרה המרתקת הזו.

למעוניינים להמשיך לקרוא ולחקור - ממליצים בחום על קריאה/רפרוף באנציקלופדיית הסדרות (אנגלית),
למשל כאן https://oeis.org/A063108 או כאן https://oeis.org/A230102.

גם חידמטיקה #13 עוסקת בסדרות, והפעם מפורסמת יותר... (האם כבר מצאתם את החוקיות? ואת שם הסדרה?).
מזמינים אתם להמשיך לחקור ולשחק גם איתה (מהניסיון האישי שלנו - זה כיף!).

_____________

נועה, תלמידת התוכנית בקבוצת ו' באשדוד, הגיעה אל התשובה ואף מצאה פרט טריוויה מעניין שלא חשבנו עליו:

"בהתחלה אני רציתי לכתוב את ההפרש של כל המספרים.

כשכתבתי את ההפרש של המספרים והסתכלתי על הספרות של המספרים ראיתי שיש שם חוקיות של כפל, זאת אומרת שאם יש את המספר 38 אז עושים 3 כפול 8 ואז יצא 24 שהוא המספר של ההפרש. אחר כך בדקתי את זה בכל המספרים וזה עבד.

לאחר מכן רציתי למצוא את המספר הכי קטן שמגיע לחור שחור לאחר 27 צעדים. אחר כך כתבתי יחד עם אבא שלי תוכנה קטנה שמכפילה כל המספרים עד שמגיעים למספר הכי קטן שמגיע לחור שחור ב27 צעדים. המספר הכי קטן שיצא הוא 187. דרך אגב יש 187 פרקים בתורה."

_____________

לביא, תלמיד התוכנית בקבוצת ו' בלמידה המקוונת, נעזר גם הוא במעט קוד - אך כיצד? בעזרת הבינה המלאכותית! אנחנו מלאי התפעלות מהתושייה:

1. פענחתי את חוקיות הסדרות שבחידה. הבנתי שההפרש מהאיבר הנוכחי לאיבר הבא הוא מכפלת הספרות באיבר הנוכחי.

2. רציתי ליצור באקסל את הנוסחה, כדי שאוכל לבדוק כל מיני מספרים ולראות מה החור השחור שלהם בסדרה ומתי הוא מגיע.

3. שאלתי את ChatGPT מה הנוסחה באקסל לחוקיות שמצאתי, אבל זה לא עבד למרות שניסיתי מספר פעמים לדייק את הנוסחה.

4. כדי לעקוף את הבעיה שנראתה טכנית, שאלתי את ChatGPT מה הנוסחה בGoogleSheets לחוקיות שמצאתי.
הפעם, לאחר שני ניסיונות זה פעל ושיחזר את הסדרות מהחידה בדיוק.

5. הנוסחה היא:
=A3 + PRODUCT(ArrayFormula(VALUE(MID(TEXT(A3, "0"), ROW(INDIRECT("1:" & LEN(TEXT(A3, "0")))), 1)))),
כאשר A3 הוא התא שבו הצבתי את האיבר הקטן ביותר בסדרה.

6. כעת מה שנותר לי – היה להציב את המספרים ולבדוק מתי מגיע החור השחור של כל מספר.

7. הצבתי את 1, אחר כך את 2 – וכולי... עד שהגעתי למספר 187 ובו אכן נדרשו 27 צעדים כדי להגיע לחור השחור.

8. אמנם הדרך הזו פחות מתמטית ויותר הנדסית, אבל אחרי שגיליתי את החוקיות, עבדתי עם כלי בינה מלאכותית והרבה אוטומציה והמון (!) עבודה שחורה – הגעתי לתשובה :)

_____________

שקד, תלמיד התוכנית בקבוצת ז' בלמידה המקוונת, פתר נכונה, נימק היטב וגם דייק את הניסוח שלנו - בקיצור, מתמטיקאי. מובא הדיוק שלו:

"...

אני תהיתי לי האם אפשר להשתמש במספרים שלילים, שזו נראית אופציה בהחלט אפשרית וזה גורם לי לקחת את המספר הגדול ביותר החיובי שאני מוצא ולהפוך אותו לשלילי.

אני מראש הנחתי שאני לא צריך להשתמש במספרים שלילים (למרות שזה לא היה כתוב) אבל אם מסתכלים על זה לא בהחלט אפשרי. לדוגמה 38 יהפוך ל38- והנה הסדרה - 38-, 62-, 74-, 102-.

אולי אתם תאמרו ש"זה כל המספר אז אי אפשר לעשות את זה כי כל מספר הוא מינוס", אבל אם חושבים על זה מה שהמינוס הכי קרוב אליו הוא ספרה שלילית לבדו, לכן אפשר שהתוצאה תהיה שלילית תמיד ולכן גם אפשר תכנית להשתמש במספרים שלילים. הפגם הוא שיש אינסוף מספרים שמגיעים לחור שחור ב27 צעדים ולכן גם אם מבקשים את המספר הכי קטן יהיו אינסוף אופציות וזה כנראה לא המצב שרצוי להגיע אליו ולכן הנחתי שאני לא צריך להשתמש במספרים שלילים , אבל אף על פי כן זה היה מבלבל ביותר.

מצטער על החפירה זה פשוט היה נחוץ ביותר בעיני.

אם הפתרון שלי לא נכון אחרי כל המאמץ שזה זה יהיה מביך...."

_____________

תמיר, תלמיד התוכנית בקבוצת ו' בבני דרור, פתר בשיתוף פעולה עם האנשים הכי חכמים שהוא מכיר (איזה כיף לשתף פעולה!), וגם כתב הסבר משעשע במיוחד:

"קודם כל, השקעתי שעה וחצי בהסבר😶‍🌫 ואני כמעט בטוח שתאהבו ובפעם הראשונה ההסבר שלי יבחר... (עשיתי אותו משעשע במיוחד)🤗:
לכל חידה יש לי קבוצה עם האנשים הכי חכמים שאני מכיר 😊 והפעם קצת רימינו🤫...
שברנו את הראש כבר יומיים בלי כיוון, רק מצאנו את החוקיות:

38 + 3 × 8 = 62

62 + 6 × 2 = 74

74 + 7 × 4 = 102

...

אבל אחרי שמצאנו את החוקיות הכל התחיל להסתבך...

בדקנו את כל המספרים מ1-100 והסדרה הכי ארוכה הייתה של אחת עם 10.

ואחרי יומיים כבר בלי כיוון אחד מה - 'חכמים'😆 שידע לתכנת הריץ במחשב קוד שיבדוק את כל המספרים מאחד עד אלף ובכל מספר הוא יחשב את מספר הצעדים עד ל'חור שחור' (הקוד די מסובך אז לא אראה אותו...)

ולבסוף הוא הראה את המספר הכי קטן עם הסדרה שלו: 187

187, 243, 267, 351, 366, 474, 586, 826, 922, 958, 1318, 1342, 1366, 1474, 1586, 1826, 1922, 1958, 2318, 2366, 2582, 2742, 2845, 3174, 3258, 3498, 4362, 4506

אני אהבתי את החידה הזאתי במיוחד כי היא אתגרה את כל הקבוצה שלנו ממש ואחרי הכל, קושי זה טוב.😇

לבסוף אחרי שאני כבר הייתי מיואש ואיבדתי תקווה😅, תומר הגיבור בא עם התשובה🦸‍♂

(ניסיתי למצוא חרוז טוב לתקווה...

תקווה-תשובה🤣)."

_____________

עלמה, תלמידת התוכנית בקבוצת ו' בהוד השרון, נעזרה בקוד ואז מצאה בעזרתו עוד עובדות מעניינות:

"קודם כל מצאנו את החוקיות. המספר הבא הוא סכום של המספר הנוכחי ומכפלת הספרות של המספר הנוכחי. זו גם הסיבה שקיים ״חור שחור״.
כי ברגע שמגיע מספר שאחת מספרותיו היא אפס, זה יהיה גם המספר הבא לעד.

אחר כך ניסינו כמה מספרים כדי לראות אם אנחנו מקבלים כיוון. ואז ניסינו ללכת מ 1 והלאה.
מודים שלא הצלחנו ״לבד״.

אז כתבנו תוכנית מחשב שמוצאת כמה צעדים יש לכל מספר התחלתי.

ואז בדקנו בלולאה מ 1 עד 100 - לא הגענו ל 27 צעדים.

ואז בדקנו בין 100 ל 1000 ומצאנו.

הקטן ביותר עם 27 צעדים הוא 187.

כמה עובדות מעניינות:

- עד 1000 יש שלושה מספרים שמגיעים ל 27 צעדים.

- המספרים הם 187, 248 ו 264.

- החור השחור של שלושתם הוא 4506.

- הסדרה של 187 ו 248 נפגשות אחרי ארבעה צעדים.

- הסדרה של 248 ו 264 נפגשות אחרי צעד אחד בלבד. כי 64 + 248 שווה ל 48 + 264.

- המשכנו לבדוק, ויש רק עוד שני פתרונות עד מליון. המספרים הם 386776 ו 874423

- לפחות עד מליון, מספר הצעדים הגבוה ביותר עד לחור שחור הוא … 27.

_____________

אלה, תלמידת התוכנית בקבוצת ו' למידה המקוונת, כתבה שיר בחרוזים - עם מסר חשוב, לא לפחד להפעיל את הראש, בלי להתייאש ובלי לחשוש:

"אני ואבא התחלנו לפתור את החידה,

הבנו את החוקיות של הסדרות שמגיעות לחור השחור החוקיות היא שכופלים את הספרות של המספר ומוסיפים את המכפלה שלהם למספר עצמו בשביל לדעת מה יהיה המספר הבא עד שמגיעים למספר שיש בו 0 כי כל דבר שמכפילים ב0 יוצא 0 ואז המספר נשאר אותו הדבר.

התחלנו לחשב מספרים ולחפש חוקיות לאיברים שמגיעים לחור שחור אחרי 27 איברים והאם יש קשר ומהר מאוד התעייפנו.

ראיתי ששירים בחרוזים להסבר יוצאים טובים וקליטים אז חשבתי על מילים לשיר:

קודם כל מה שעושים

לפני כל דבר אחר בחיים

כדי לפתור את החידה

את תוכנת האקסל פותחים במהרה

אבא ואני שוברים את הראש

בלי לפחד ובלי לחשוש

בנינו נוסחה לחישוב הסדרה

והתחלנו לחפש את התשובה הנכונה

הקלדנו מספרים וגם מזה התעייפנו

אז הוספנו קוד מאקרו שיעזור לנו