התשובה היא: 333111

_____________

שמה של הסדרה שהופיעה בחידה הוא סדרת קונוויי, או באנגלית (כפי שרמזנו באיור) - Look-and-say sequaence ("סדרת הסתכלו והגידו").
גם לסדרה הזו יש תכונות מרתקות אותן תוכלו להמשיך לחקור. מאחלים משחק מהנה! :)
_____________

דניאל, תלמיד התוכנית בקבוצת ו' ביבנה, כתב כיצד הגיע לפתרון והשתכנע שאכן קיבל את המספר הנמוך ביותר:

"בהתחלה חשבתי איזה חוקיות 'סודית' יכולה להיות וחשבתי מחוץ לקופסא, ראיתי שבעלייה הראשונה רשום משמאל לשני המספרים 1 ובעלייה האחרונה לפניה היו 3 פעמים 1 ואז בעלייה האחדים הכי שמאליים הפכו ל3 והבנתי את החוקיות : צריך לקרוא כמה פעמים הספרה מופיעה ברצף במספר ולקרוא את המספר לדוגמא במספר 25 יש פעם אחת 2 ופעם אחת 5 לכן המספר הבא יהיה 1215.

חשבתי איך אני יכול שהסדרה תרד ולא תעלה והבנתי שכדי לצמצם הרבה מספרים צריך לעשות את אותם מספרים כמה פעמים ברצף לדוגמא 111222 הופך ל3132 וכשאין לי רצף של מספרים בכלל זה לא יעבוד.

כדי שיהיה לי רצף מספרים גם במספר השני במספר צריך לשנות את המספר הראשון כך שכל מספר מופיע לפי המספר שהוא אז נעשה נגיד 22333 ואז זה יהפוך ל2233 וזה יהפוך ל2223 וזה יהפןך 3213 וזה גדול יותר.

הבנתי שברצף המספר השני מצטמצם והסדרה לא עובדת לכן אני צריך להגדיל עוד יותר את המספר הראשון

ראיתי שכל פעם ה333 הופך ל33 שהופך ל23 שתוקע אותי בגלל שאין רצף אבל אם אני אתחיל עם 333111

                                                                                     333111⬅3331⬅3311 ⬅2321 ⬅12131211

בסדרה הזאת זה יורד 3 פעמים ואז עולה וזה המספר הכי קטן שאפשר לעשות איתו כי עם מספרים קטנים יותר זה לא עובד ואי אפשר להפוך את המספר ולעשות 111333 כי אז יוצא 3133 ואין את הרצף של 3 פעמים 3 ולכן זו התשובה 😄."

_____________

יונתן, תלמיד התוכנית בקבוצת ו' בנתניה, מספר על תהליך החשיבה שלו ושל אחיו (התרגשנו מכמה הוא דומה לתהליך החשיבה שהיה לנו כשכתבנו את החידה):

"אחי ואני פתרנו את החידה. לא לקח הרבה זמן עד שהבנו את החוקיות הסודית של הסדרה.
כל מספר מתאר את הרצף של כל ספרה של המספר הקודם. 

ראינו שלרוב המספרים יש אחריהם מספר גדול יותר והתחלנו לחפש מתי המספר יורד. 

מצאנו שאחרי 33 מגיע 23 ולכן יורד.
בדקנו איזה מספר יורד ל 33 ומצאנו את 333 שיורד ל 33 וחשבנו שאם נמצא מי יורד ל 333 נמצא את הרצף של התשובה.
מצאנו שהמספר הארוך מאד של 33 פעמים 3 יורד ל 333. מצאנו מספר שעונה לרצף של 3 ירידות ועלייה אבל היינו כמעט בטוחים שהוא לא הכי קטן. 

...

אחי עשה תוכנה בפייתון שעוברת על כל המספרים מ- 1 עד שמוצאת את המספר הראשון שעונה לרצף וככה מצאנו את 333111 והבנו שהיינו קרובים למצוא את המספר בחישוב המקורי שלנו.

333111 יורד ל 3331 שיורד ל 3311 שיורד ל 2321 ועולה ל 12131211."

_____________

שני, תלמידת התוכנית בקבוצת ז' בחולון, מספרת על הגילויים שלה ועל התהליך שהוביל אליהם:

"דבר ראשון שצריך לעשות זה לגלות את החוקיות של הסדרה.

מציאת החוקיות הייתה טריקית, בגלל שדבר ראשון שחושבים עליו בסדרה הוא החוקיות המתמטית בא, אבל בסדרה הזאת החוקיות פחות מתמטית ממה שציפיתי.
אחרי כמה ניסיונות למציאת החוקיות, בעזרת אבא שלי, גילינו שהחוקיות קשורה לספרות בלבד.
במספר 25 יש 2 אחד ו5 אחד, או 1215, שזה גם המספר הבא בסדרה. ב1215 יש 1 אחד 2 אחד 1 אחד ובסוף 5 אחד, או 11121115, וככה זה ממשיך אם שאר הספרות (בסדרה קודם כותבים את הכמות ואז את המספר).

אחרי שגילינו את החוקיות של הסדרה היה צריך למצוא את המספר הקטן ביותר שיכול ליצור את החוקיות של אילן.
כדי לעשות את זה בהתחלה ניסיתי למצוא סדרות שיש בהם ירידה, כמו 33, 44 ו55. גיליתי גם שהמספרים שיש בהם ירידה הם מספרים שלרוב כל הספרות שלהם שוות.

אחרי זה ניסיתי להשתמש במספרים גדולים יותר, גיליתי שככל המוסיפים עוד ספרות ככה יש יותר 'צעדי ירידה'.
לאחר עוד הוספות של ספרות גיליתי שאם כמות הספרות שווה לספרה שחוזרת על עצמה במספר כך יש יותר צעדי ירידה. בגלל שצריך את המספר הקטן ביותר ניסיתי ליצור מספר שכולל את הספרות 333 (חייב להישאר באותו רצף). 

ניסיתי כמה פעמים עד שגיליתי שהמספר הוא 333111:
במספר יש  שלוש 3 ושלוש 1, 3331, ל3331 יש שלוש 3 ו1 אחד, 3311, ל3311 יש שתי 3 ושתי 1, 2123, ל2123 יש 2 אחד 1 אחד 2 אחד ו3 אחד, 12111213 שזה כבר עלייה.

יש במספר הזה 3 ירידות ואז עלייה.

*בזמן החישוב גיליתי שהמספר שבר דיברה עליו (המספר שיישאר אותו הדבר) הוא 22, וזאת גם הסיבה שלא הזכרתי אותו בהסבר."

_____________

איתן, תלמיד התוכנית בקבוצת ו' בתל אביב, נעזר בכלים טכנולוגיים מצא את התשובה, ואף המשיך לחקור ולהתעניין (וצירף הפניות מעניינות - מומלץ):

"לקח לנו קצת זמן להבין את החוקיות הסודית אבל בסוף מצאנו.

נסינו לשחק עם המספרים באמצעות אקסל, ChatGPT ובאמצעות מאגר הסדרות שרשמתם לנו בהמשך (The online encyclopedia of integer sequences). בסוף הבנו שהחוקיות קשורה לצורה המילולית שבו המספר כתוב. כלומר, אם לוקחים את המספר 25 אז המספר הבא יהיה מורכב מהמילים שמתארות את הספרות והתדירות שלהן במספר: אחד 2 ואחד 5 (=1215). לאחר מחקר נוסף הבנו שלחוקיות הזו קוראים “look-and-say sequence” או “Conway’s audioactive operator”. במאגר הסדרות אפשר לראות למשל את https://oeis.org/A006751 או את https://oeis.org/A006715. ראינו שיש הרבה חומר באינטרנט על החוקיות הזו מצאנו קודים בשפות שנות (Python, C++, וכו') וגם אתר אונליין שעוסק בסדרה הזאת (https://onlinetools.com/math/generate-look-and-say-sequence).

אחר כך ניסינו לחפש מספרים שבהם הסדרה תרד בהתחלה 3 צעדים ואחר כך תעלה. מצאנו דברים מעניינים כמו למשל שהמספר 22 נשאר לנצח 22 על פי החוקיות הזאת. כך המשכנו לנסות מספרים שונים. הבנו למשל ש-333 מתכנס ל-33. כך שאם אחרי 333 יהיה שוב ספרה שתופיעה שלוש פעמים אז נוכל להוסיף למספר הבא בסדרה שוב 3 ל-33 ואז נוכל לבצע התכנסות נוספת במספר השלישי בסדרה. כך הגענו אל 333111 כמספר הכי קטן וחיובי שמצאנו שעונה על התנאים שהוגדרו.""

_____________

נגה, תלמידת התוכנית בקבוצת ו' בלמידה המקוונת, רתמה את כל המשפחה לפתרון (תמיד משמח אותנו לקרוא!) שיחקה עם הסדרה כדי להבין אותה היטב, ולסיום השתמשה בתובנות מהמשחק, סובלנות ולוגיקה בהירה כדי למצוא את הפתרון:

"טוב אז אצלי כל המשפחה נכנסה למשימה.

קודם חיפשנו את החוקיות של הסדרה , רק לאחר שחילקתי את המספרים ל-2 וחיפשתי באינטרנט מצאנו את החוקיות:

מתחילים במספר כלשהו (25)
ואז המספר הבא מתאר כמה יש מכל ספרה (1 מספרה 2 ועוד 1 מספרה 5: 1215)
ואח״כ שוב מתאר כמה ספרות יש במספר (פעם אחת מספרה 1 פעם אחת מספרה 2 פעם אחת מספרה 1 ופעם אחת מספרה 5, יצא: 11121115)
ועכשיו כשיש ספרות צמודות יחד וזהות אז מחברים את התיאור (3 פעמים ספרה 1, פעם אחת ספרה 2, 3 פעמים 1, ופעם אחת 5, יצא 31123115).

עכשיו לשלב השני:

התחלנו לשחק בספרות וראינו שבשביל שתהיה ירידה חייב ספרות זהות אחת ליד השנייה (ככה נוכל להוריד סדר גודל למספר). אבל זה לא ממש עובד עם 1, כי אז כשמגיעים לאותה כמות ספרות אז תמיד מספר עם 1 בהתחלה קטן ממספר עם ספרה אחרת.

גם 2 עשה ״בעיות״, ותוך כדי גיליתי שהמספר שנשאר קבוע כל הזמן הוא ״22״ ממש מגניב.

לכן עברתי ל3

התחלתי עם 333 אבל אז ראיתי שאין 3 צעדים יורדים ולכן חייב להוסיף לזה עוד מספר, אבל צריך 3 מאותו מספר כדי שהוא יתחבר ל 3

ניסיתי 333000 אבל בגלל שמגיעים לשלב של פעם אחת הספרה השנייה היה צריך להשתמש בספרה 1, כדי שיהיו פעמיים 1 ליד השני וכך המספר ישאר עם אותו מספר של ספרות

וכך הגעתי ל 333111"

_____________

דורון, תלמידת התוכנית בקבוצת ו' בקריות, השקיעה מחשבה רבה, לאחר מכן נעזרה בכמה רמזים וניחושים ויחד עם הרבה הגיון בריא הגיעה לתשובה בעצמה:

"אחרי יום שלא הבנתי את החוקיות של הסדרה, אבא שלי שהבין והכיר אותה מלפני נתן לי כמה רמזים, ואז הבנתי שהחוקיות של הסדרה היא שכל מספר מתאר את המספר שלפניו, כלומר- אם התחלנו מ-25 אז המספר הבא יהיה 1215 כי ב-25 יש פעם אחת 2 (12) ופעם אחת 5 (15).
ככה זה ממשיך- פעם אחת 1, פעם אחת 2, פעם אחת 1 ופעם אחת 5, והמספר שיוצא הוא 11121115.

חשוב לומר שכשמתארים את המספר בצורה הזאת, מחשיבים בספירה רק את הספרות שברצף, כלומר אם יהיה לנו את המספר 131 אז המספר הבא יהיה 111311.

התחלתי לבדוק מספרים מההתחלה-
מספרים חד ספרתיים לא יהיו, כי הם תמיד יהפכו למספר דו ספרתי שספרת העשרות שלו היא 1, לדוגמה- אחרי 9 יגיע 19.

המשכתי לנסות את המספרים, כלום לא עבד ואז הגעתי ל-22.
22 זה לא התשובה אבל- 22 הוא המספר שתמיד נשאר אותו הדבר- כי יש בו פעמיים 2- 2 פעמים 2.

הבנתי שהספרות בתשובה חייבות להופיע כמה פעמים ברצף, ואז סתם ניחשתי- 333, 4444, 55555 וכן הלאה, ואז אבא שלי (שמסתבר שבזמן שחשבתי על החידה כתב קוד כדי לפתור אותה) אמר לי שאני קרובה ושוב התחלתי לנחש, עד שהצלחתי.

הסדרה שיוצאת היא- 

333111, 3331, 3311, 2321, 12131211 

וכן הלאה."

_____________

שביט, תלמיד התוכנית בקבוצת ו' ברופין, כתב עם ים של הומור והכי כיף - הוסיף מידע נוסף שגילתה מתוך המשחק:

"סיפור אמיתי שאף פעם לא קרה:
חפרפרת אחת הגיע אליי ובטעות התנגשה בי כשטיילתי ברחוב.

חפרפרת:
מחילה מחילה! לא ראיתי לאן אני חופרת מרב שמיהרתי.

אני:
את מתנגשת בי ואז מבקשת שאני אבנה לך מחילה?! תדעי לך שחוצפה כזאת עוד לא ראיתי, ויש לי אח קטן.

חפרפרת:
נו לא המחילה הזאת. התכוונתי לסליחה. בכל מקרה אני ממש צריכה ללכת.

אני:
לאן?

חפרפרת:
אל אבא שלי. אני צריכה שהוא יעזור לי עם החידה השבועית של בר ואילן.

אני:
למה שאני לא אעזור לך?

חפרפרת:
אתה באמת תעזור לי?

אני:
בשמחה! אז מה החידה?

חפרפרת:
"הסדרה הבא ההיא סדרה עולה בעלת חוקיות 'סודית':    25, 1215,  11121115, 31123115...
אילן רוצה ליצור סדרה בעלת אותה חוקיות 'סודית', בה יש שלושה 'צעדים יורדים' ואחריהם עלייה.
מהו המספר החיובי הקטן ביותר ממנו אילן יכול להתחיל את הסדרה?"

גם היה שם שיח מעניין בין בר לאילן, אני כל שבוע נהנית לקרוא אותו.

אני:
נכון השיח בניהם ממש מעניין (ולפעמים גם קצת מצחיק).
בחזרה לענייננו, תנסי לקרוא את הסדרה לא כמספר, אלה כרצף של ספרות.

חפרפרת:
שתיים חמש, אחד שתיים אחד חמש, אחד אחד אחד שתיים אחד אחד אחד חמש...
זה לא כל כך עוזר.

אני:
תנסי להקריא את זה כמו סיסמא: תוסיפי רווחים בין כל מספר מסוים של מספרים.

חפרפרת:
שתיים חמש, אחד-שתיים אחד- חמש, אחד-אחד אח...
הבנתי! משמאל לכל ספרה כותבים את מספר הפעמים שהיא הופיע במספר!

אני:
נכון מאוד. אבל זאת לא סוף החידה. עכשיו צריך למצוא מספר שעונה על מבוקשו של אילן.

חפרפרת:
נכון.

אני:
אבל לפני זה כדאי שנמצא את המספר שבר הזכירה.

חפרפרת: איזה מספר?

אני: המספר שלפי החוקיות ה'סודית שכבר לא כל כך סודית' מגיע ל'חור שחור' (איבר בסדרה שחוזר על עצמו למשך כל הסדרה. כמצוין בחידה הקודמת)

באפס צעדים.

חפרפרת:
נכון. תן לי רגע לחשוב. מממממממממממ....... 22!

אני:
יפה מאוד! איך הגעת למספר הזה?

חפרפרת:
אין לי כח להסביר.

אני:
למה?

חפרפרת:
אכלתי יותר מידיי מצות עם שוקולד. הם הפכו אותי לעגלגלה.

אני:
קצת מוזר שמשהו בצורת ריבוע הפך אותך לעגלגלה...

חפרפרת:
באמת קצת מוזר... אבל כן יש לי כח לשתף אותך בכמה דברים שגיליתי:
1. כל מספר דו-ספרתי שמתחלק באחת עשרה והוא גדול מ-22 עושה 'צעד יורד'.
2. בשביל להגיע למספרים כאלו, צריך לעשות משפר שכל ספרותיו הם מספר הספרות במספר, לדוגמא: למספר 7,777,777 יש 7 פעמים את הספרה 7, לכן אם הוא יהיה בסדרה שפועלת על פי החוקיות ה-'לא סודית', יצא המספר המספר 77 (7 פעמים הספרה 7).

אני:
דיי מרשים ביחס לחפרפרת.

חפרפרת:
מצחיק מאוד.

אני:
סליחה (מחשבה שעלתה בראשי: לפחות אני לא מבקש מחילה כשאני עושה טעות).
אילן רצה את המספר הכי קטן, אז ניראה לי שעדיף שנבחר במספר 333, הוא הכי קטן מבין כל האופציות.

חפרפרת:
נכון, אבל זה לא מספיק 'צעדים יורדים' צריך עוד אחד.

אני:
ה'צעד היורד' האחרון צריך להיות שיעורי הבית שלך. אחרי הכל גם את צריכה לעשות משהו לבד.

חפרפרת:
כבר נתנו לי מספק שיעורי בית לחופש פסח, רק לא עוד..."

_____________

כל הכבוד לכל מי שפתרו את החידמטיקה!