התשובה היא: 840

אם הנושא סקרן אתכם - תוכלו לקרוא עוד כאן:

מספרים פריקים במיוחד, בגרסה האנגלית מופיעה טבלה מעניינת, ביוטיוב קיימים כמה סרטונים בנושא (באנגלית)

מאיה, תלמידת התוכנית בקבוצת ו' בחיפה, פתרה בשיטת ניסוי וטעייה תוך הפעלת שיקולים נוספים:

"דבר ראשון פסלתי את כל המספרים עד 500 (בגלל שאפשר להכפיל אותם ב-2 ולקבל מספר עם יותר מחלקים בגבול ה-1000). פסלתי גם את כל הראשוניים (שאי אפשר לחלק בכלל חוץ מלעצמם ול-1).

ברור שמספר עם הרבה מחלקים לא יכלול מחלקים ראשוניים גדולים כמו 13 ו-17 כי הם יגיעו מהר ל-1000.
בנוסף המספר יורכב משילוב של מספרים ראשוניים קטנים יחסית (שלעיתים יחזרו על עצמם).

בעצם מה שמשנה את כמות המחלקים זה מספר הקומבינציות השונות שאפשר להרכיב מהגורמים הראשוניים אחר כך ישבתי וניסיתי למצוא את כל המחלקים של כמה מספרים שקרובים ל-1000 בעזרת מציאת מספר הקומבינציות השונות האפשריות של גורמים ראשוניים.

ניסיתי את 720, 900 ו-840 ל 840 היו הכי הרבה מחלקים."

__________

ליהיא, תלמידת התוכנית בקבוצת ז' ברחובות, מסבירה כיצד בנתה את המספר שלה ממכפלת ראשוניים וחישבה את מספר המחלקים שלו:

"ניסיתי להתחיל הפוך ולבנות מספר גדול שהוא קטן מ-1000 בעזרת מכפלה של מספרים ראשונים וכפולות שלהם ולבדוק כמה מחלקים אני מצליחה להשיג. בניתי את 840 = 2×2×2×3×5×7.

המחלקים הראשונים הם 2,4,8. ה-3 מוסיף עוד 4 מחלקים (הוא עצמו והמכפלה שלו בכל 3 המחלקים הקודמים). ה-5 מוסיף עוד 8 מחלקים (הוא עצמו והמכפלה שלו בכל 7 המחלקים הקודמים) ו-7 מוסיף עוד 16 מחלקים (הוא עצמו והמכפלה שלו בכל 15 המחלקים הקודמים).בסך הכל 31 מחלקים. אני לא בטוחה שזה הכי גבוה אבל מקווה שכן."

(הערה - התשובה של ליהיא לא כוללת את המחלק 1. אילו היה נכלל, היינו סופרים 32 מחלקים)

__________

שחר, תלמיד התוכנית בקבוצת ו' במשגב, מציגה את דרך לחשב את מספר המחלקים בעזרת נוסחה:

"למספר 840 יש הכי הרבה מחלקים בין מספרים שלמים חיוביים בין 1 ל-1000 מכיוון שיש לו מספר גבוה של גורמים. כדי לקבוע את מספר המחלקים עבור מספר נתון, ניתן לפרק את המספר לגורמים הראשוניים שלו ולאחר מכן להשתמש בנוסחה כדי לחשב את המספר הכולל של המחלקים.

עבור 840:

840 = 2³×3¹×5¹×7¹

כדי למצוא את המספר הכולל של המחלקים, מוסיפים 1 לכל אחד מהמעריכים של הגורמים הראשוניים ואז מכפילים אותם יחד:

(3+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 4×2×2×2 = 32

לכן, ל-840 יש בסך הכל 32 מחלקים, מה שהופך אותו למספר השלם החיובי עם הכי הרבה מחלקים בין 1 ל-1000."

__________

אורי, תלמיד התוכנית בקבוצת ו' בחיפה, מספר על המחקר שלו ושל אביו ומסביר את מקור הנוסחה לעיל:

"אני ואבא שלי חקרנו את השאלה ביחד.
התחלנו בלחקור את הנושא עם הרמזים שהיו בשאלה.
הסתכלנו על המקרה בדוגמא של 12 - שיש לי 6 מחלקים - 1,2,3,4,6,12
והסתכלנו על הגורמים הראשוניים שמרכיבים אותו: 2,2,3

בהתחלה חשבנו שפשוט אפשר להסתכל על מספר תתי הקבוצות שאפשר לבחור מתוך הגורמים הראשוניים, אבל ראינו שיש עם זה בעיה בגלל שיש כל מיני שילובים שהם בעצם אותה קבוצה אבל עם סדר שונה.

ואז הגענו לרעיון שעבור כל קבוצה של גורמים ראשוניים זהים, אפשר לראות את הגדול שלה.
בדוגמא למעלה מדובר: הגורם הראשוני 2 מופיע פעמיים לכן יש לנו 3 אפשרויות (כאשר אנחנו מרכיבים מחלק של המספר 12) - לקחת אפס מהקבוצה (כלומר, לא לבחור אף נציג שלה), לקחת 1 או לקחת 2. הגורם הראשוני 3 מופיע רק פעם אחת לכן יש לנו אפשרות 1 עבורו, לקחת או לא לקחת אותו.

הבנו שעבור כל קבוצה כזו בגודל N מדובר בN+1 אפשרויות (כולל האפשרות לא לקחת אף נציג מהקבוצה)

כעת, נכפיל את כל המספרים שקיבלנו מכל הקבוצות - במקרה הזה 3×2.

אבא עזר לי לכתוב את הפתרון בקוד בפייתון ולהריץ אותו.

הגענו למספר 840 שיש לו 32 מחלקים (!!)

1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,14,15, ... , 280, 420, 840

שמנו לב לפרט מעניין - המספר עם הכי הרבה גורמים ראשוניים הוא 512, שיש לו 9 פעמים 2 בתור גורם ראשוני, הוא לא המספר עם הכי הרבה מחלקים!

בהתחלה הלכנו על הכיוון הזה עד שהבנו שהוא לא נכון ומצאנו את הכיוון הנכון יותר שתיארנו למעלה :)"

__________