Au niveau du lycée, les nombres complexes sont un outil très puissant permettant de faire du calcul analytique (y compris avec des angles) en manipulant une seule coordonnée (ils permettent aussi de définir une « multiplication de vecteurs » !!). Ils permettent aussi d’écrire de manière simple les transformations du plan (isométries et similitudes).

En électricité, on représente une fonction sinusoïdale par son amplitude et sa phase (module et argument), ce qui permet de tout traiter avec un seul nombre complexe. En associant une impédance (« résistance complexe ») aux bobines et aux condensateurs, on peut utiliser la loi d’Ohm () qui était valable pour les résistances seulement en courant continu. On peut donc traiter très simplement des circuits contenant divers types de composants. (Plus généralement, le nombre complexe Entrée/Sortie appelé fonction de transfert résume la manière dont un circuit transforme un signal en l’amplifiant et en le déphasant. Pour assembler plusieurs circuits ils suffit de multiplier ces fonctions de transfert.)

Enfin, en maths, le théorème de d’Alembert dit que est algébriquement clos (et c’est le plus petit corps contenant dont on peut dire cela), c’est-à-dire que tout polynôme de degré y possède exactement n racines, et cela simplifie souvent les calculs. Sur on sait que des équations possèdent des solutions, qu’une matrice possède des valeurs propres (donc on peut les trigonaliser), etc.

Enfin, un autre gros résultat pour l’analyse : les fonctions dérivables au sens complexes sont automatiquement et développables en série entière.

L'algèbre s'est longtemps identifiée à l'étude des équations polynomiales. La recherche de formules pour les racines analogues à celles du second degré a constitué un problème central chez les mathématiciens italiens de la Renaissance, notamment Tartaglia, Cardan , Bombelli , ou encore chez Descartes ou Girard , chez qui on voit apparaître des quantités complexes sous forme symboliques. Ces textes révèlent l'importance des notations en mathématiques ; ils soulignent la différence entre formules de résolution symbolique et méthodes d'approximation. Ils montrent aussi que la découverte de nouveaux objets mathématiques ne passe pas par les chemins qui semblent rétrospectivement les plus directs.

La réalisation géométrique des nombres complexes apparaît plus tard chez Gauss , Argand ou Mourey, où l'on trouve un lien entre les nombres complexes et la tentative de formaliser ce qui deviendra les vecteurs. Une illustration de l'efficacité de ce lien entre calcul et géométrie est le calcul de cos(pi/5), qu'on peut mettre en perspective avec la construction du pentagone régulier dans les Éléments d'Euclide. Klein introduit, dans son programme d'Erlangen , un point de vue sur la géométrie qui transparaît dans l'étude des similitudes directes du plan complexe.

Les nombres complexes, introduits pour des raisons internes aux mathématiques, sont désormais des outils importants en physique (électricité notamment) et économie (cycle de croissance, de prix).

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