Suites

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• Term - 6 - Suites et raisonnement par récurrence | Camus Maths

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QCM n° 1

Nbre de questions : 5.

Durée : 20 minutes.

Niveau de difficuté : 1.

DocEval

QCM n° 2

Nbre de questions : 5.

Durée : 20 minutes.

Niveau de difficuté : 2.

DocEval

QCM n° 3

Nbre de questions : 5.

Durée : 20 minutes.

Niveau de difficuté : 1/2.

DocEval

QCM n° 4

Nbre de questions : 5.

Durée : 20 minutes.

Niveau de difficuté : 1/2.

DocEval

Penser d’emblée au parallèle suite/fonction (les suites sont des fonctions de R dans R), qui donne aussi le parallèle série/intégrale. Sachant qu’un ordinateur ou une succession de mesures ne donnent que des valeurs discrètes, on comprend aisément que les suites serviront à approcher du continu. D’ailleurs, construction de Cantor des nombres réels définit justement un réel comme limite d’une suite (de Cauchy) de rationnels.

Par ailleurs, de nombreuses méthodes de résolution d’équations font appel à des suites (c’est le principe d’un algorithme, qui est l’équivalent informatique de la récurrence), convergeant en général vers la solution de l’équation. On peut citer la méthode de Newton pour résoudre une équation, la méthode d’Euler pour résoudre une équation différentielle. Google aussi utilise ce principe pour déterminer le Page Rank. Tout ceci repose souvent sur des théorèmes de points fixes (par exemple d’une application contractante.)

D’autre part, des modèles discrets sont parfois plus simples à écrire que leur équivalent continu, et plus facile à calibrer sur des données initiales. On les utilise notamment en dynamique des populations : il y a l’exemple de Malthus qui soutient que les ressources économiques augmentent de manière arithmétique alors que la population croît exponentiellement. On peut aisément écrire une équation plus réaliste du type  avec un population à l’instant  et  taux de variation natalité-mortalité. En couplant de telles équations on peut décrire un système à plusieurs espèces (proie-prédateurs, espèces en concurrence pour une ressource). Ces modèles sont transposables tels quels en épidémiologie où les différentes espèces sont remplacées par des individus sains/infectés.

Enfin, on peut aussi citer en économie le célèbre modèle à générations imbriquées de Samuelson. Ce modèle relativement simple avec deux suites couplées permet de modéliser l’épargne, les échanges entre générations, les retraites, la monnaie, les bulles spéculatives, etc. On suppose que chaque individu vit 2 périodes, une première (jeunesse) où il travaille, une deuxième (vieillesse) où il ne peut plus travailler. On note  et  le nombre de jeunes et de vieux à l’époque n. Par un calcul d’utilité, on détermine l’épargne de chaque génération…

Une fois une suite définie, le but de l’étude est en général de déterminer le comportement pour n grand (variations, convergence, calcul de la limite, ou comparaison à une autre suite).