Primitives, équations différentielles

Primitive

Équation différentielle 

Intégrale - Valeur moyenne - Aire

Intégration par parties

Ils interviennent énormément lorsqu’on veut résoudre informatiquement un problème physique. En effet, on est alors conduit à discrétiser un problème et remplacer les surfaces et solides par les points d’un maillage (on appelle cela des méthodes « par éléments finis ») reliés par des courbes polynomiales, sur lesquelles ont va pouvoir utiliser un algorithme d’optimisation. Ces méthodes sont utilisées dans l’industrie pour simuler la fabrication de pièces mécaniques et leur comportement (résistance à la chaleur, aux déformations, aérodynamique). Elles font appel à des systèmes linéaires énormes. Bien sûr, il n’est alors plus question de résoudre ces systèmes à la main, on utilise toute la puissance des ordinateurs.

Puisqu’on parle d’ordinateurs, il est bon d’avoir une idée de la complexité, c’est-à-dire du nombre de calculs nécessaires pour la résolution d’un système de n équations à n inconnues (sachant que n est grand). La méthode de Cramer (par le calcul de déterminants) est en  (ce qui devient vite énorme), le pivot de Gauss est en  , ce qui est mieux.

Autre exemple, l’algorithme Page Rank de Google qui classe les pages selon leur importance utilisait en 2001 un système à 500 millions d’équations (une par page web). Aujourd’hui c’est bien plus.

Encore un exemple : en physique, pour se ramener à des équations que l’on sait résoudre, on linéarise. Par exemple l’équation du pendule  = 0 est remplacée par  . Et pareil pour des systèmes d’équations différentielles, que l’on linéarise au voisinage de l’équilibre. L’étude du système linéarisé permet d’étudier la stabilité de l’équilibre. Enfin, il peut être bon de rappeler que dans un système linéaire ce qui compte ce sont les coefficients et pas le nom des variables. D’où l’idée d’utiliser des tableaux de coefficients (les matrices) pour simplifier les calculs.