Calcul intégral

(pas au bac)

COURS ou bien

CI_histoire.pptm

L'air de rien, c'est intéressant

Pick aire et points .... Kakeya.pdf + reuleaux + Kakeya

https://jaicompris.com/lycee/math/fonction/integrale/integrale_exercice_bac.php

https://jaicompris.com/lycee/math/fonction/integrale/exercice-integrale.pdf

https://www.mathoutils.fr/cours-et-exercices/terminale-generale/calcul-integral-exercices-corriges/

https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/Sujets-Devoirs-Corriges/revisions-bac-integrales.php

http://mmeyroneinc.chez-alice.fr/C10_TD_Int%E9gration_exercices_BAC_2010_2011_2012.pdf

https://chingmath.fr/tle-spe/calcul-integral

ReTOUCHE photo

http://emmanuel.dufraine.free.fr/tropfortlesmaths/Maths%20et%20imagerie%20num%C3%A9rique%202014.pdf

Quel intérêt ?

L’intégrale possède trois interprétations : l’opération inverse de la dérivation, la surface sous une courbe et la somme (c’est le sens du symbole ) d’une infinité de petits éléments. Ce troisième aspect apparaît dans l’étude des sommes de Riemann, il est beaucoup utilisé en physique pour modéliser les milieux continus (distribution linéique/ surfacique/ volumique de charge, de masse, calcul du centre de gravité, de la résultante d’un champ de forces). Le travail d’une force apparaît aussi comme la somme des travaux élémentaire par rapport au temps. Cette même approche donne des équations continues en dynamique des populations : par exemple, si est le nombre d’individus d’age entre et à l’instant , alors donne la population totale à l’instant t, le nombre de naissances ( étant la natalité pour un parent d’âge ), est l’espérance de vie, etc. C’est la théorie de la mesure et l’intégrale de Lebesgue qui réalise la synthèse entre intégrale et somme. On voit apparaître cette synthèse notamment dans la théorie des probabilités avec des lois continues : les formules de moyennes, variances se récrivent avec des intégrales.

En physique, la valeur efficace d’une grandeur (par exemple de l’intensité, de la tension, d’une force) est définie comme la valeur continue qui transporte la même énergie. C’est une moyenne (d’une valeur absolue ou d’un carré), elle est calculée à partir d’une intégrale.

Pour ce qui est l’aspect surface de l’intégrale, il est bon de savoir qu’Archimède déjà utilisait des techniques semblables pour calculer certaines surfaces (parabole par exemple).

Intégration par parties et changement de variable

L’intégration étant l’inverse de la dérivation, tous les techniques de calcul d’intégrale proviennent d’une formule de dérivation.

L’IPP correspond à la dérivation d’un produit, le changement de variable à la dérivation d’une fonction composée. Ces deux techniques apparaissent donc naturellement, et ne doivent donc pas être considérées comme des astuces.

Intégration numérique

Deux motivations : d’une part des intégrales qu’on ne sait pas calculer lorsque la fonction devient trop complexe, d’autre part des fonctions simples dont on ne peut pas exprimer de primitives (penser à avant d’avoir inventé le logarithme, penser à ou à . On ne peut donc espérer calculer les intégrales exactes, on est obligés de se contenter de valeurs approchées. On dispose alors de différentes méthodes, la meilleure étant celle qui converge le plus rapidement, c’est-à-dire qui donnera le résultat le plus proche avec le moins de calculs. Comme on ne peut pas comparer les méthodes sur toutes les fonctions (et on peut toujours trouver une fonction particulière qui rend plus avantageuse telle méthode), on utilise les fonctions polynômes, les fonctions convexes, les fonctions dont la dérivée est majorée par .