Continuité des fonctions d’une variable réelle

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Quel intérêt ?

Continuité

La continuité est une propriété fondamentale de la plupart des phénomènes physiques classiques (c’est faux pour la mécanique quantique). Par exemple, la trajectoire d’un point est continue, les déformations que l’on peut faire subir à un objet sont continues.

L’énergie doit varier continûment (car sa variation correspond à une puissance, nécessairement limitée), donc aussi la vitesse d’un point, la tensions aux bornes d’un condensateur, l’intensité dans une bobine, la température d’un corps.

En économie, la continuité des fonctions d’offre et de demande permet d’assurer que les courbes se coupent et qu’il existe un prix d’équilibre (c’est la loi de l’offre et la demande). Or il est plausible de considérer que la demande des consommateurs dépend continûment du prix, mais ceci l’est beaucoup moins pour l’offre (car la nature de la production industrielle, avec des effets de seuil au-delà desquels il faut investir dans une nouvelle machine, produit des discontinuités). Les hypothèses de continuité jouent un rôle crucial dans l’acceptation ou la critique de la théorie économique de la concurrence dans un marché à information parfaite, qui sert de base à l’idéologie libérale.

C’est la topologie qui étudie les propriétés des fonctions continues. Celles-ci conservent le fait d’être en un seul morceau (en dimension 1 c’est le fait d’être un intervalle, sinon c’est la connexité), la compacité, et les ouverts et fermés (en fait c’est la fonction réciproque qui les conserve). Les fonctions continues conservent aussi le fait d’avoir ou pas des trous (c’est défini par le groupe fondamental ) : on ne peut pas passer d’une sphère à un tore (beignet).

(Digression : c’est la théorie des catastrophes qui étudie comment des phénomènes continus peuvent être à l’origine de comportements discontinues.)

Il est bon de connaître des exemples de fonctions non continues (avec éventuellement beaucoup de discontinuités.)