Compléments sur la dérivation

En maths, cette notion sert à l’origine à déterminer l’équation de la tangente à une courbe, ce qui donne en même temps le sens de variation de la fonction et de trouver ses extrema. Il s’est révélé par la suite que la dérivation est l’opération inverse de l’intégration, et donc que les formules de dérivée servent aussi au calcul de primitives et d’intégrales.

En physique, la vitesse et l’accélération sont des dérivées, l’intensité électrique est la dérivée de la charge d’un condensateur, la tension d’une bobine est la dérivée de l’intensité, plusieurs forces (gravitation, électrostatique, élastique) « dérivent » (c’est des gradients) d’un potentiel qui est une énergie. La puissance est la dérivée de l’énergie. La force de pression est le gradient de la pression. Tous les flux (de chaleur, de particules) sont des gradients. La vitesse d’une réaction chimique est une dérivée. Les lois physiques (loi de Newton en mécanique, loi des mailles en électrocinétique, bilan d’énergie en thermodynamique) donnent des relations entre fonctions et dérivées, ce qui conduit à des équations différentielles (voire des EDP).

La dérivée représente tout ce qui est taux de variation, par exemple le taux de croissance d’une population () ou le taux de contagion pour une maladie.

En économie, le taux de croissance d’une économie (ou du chômage, ou de n’importe quelle grandeur) est une dérivée. Le coût marginal d’un produit est le coût de production d’une unité supplémentaire, est la dérivée du coût de production total. Le prix de vente d’un produit est fixé égal au coût marginal de la dernière unité produite. Le taux marginal de substitution traduit la propension d’un consommateur à remplacer un produit par un autre lorsque le prix du premier augmente.