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Sphère circonscrite
Sphère circonscrite
Pour tout tétraèdre (non aplati), il existe une et une seule sphère passant par les 4 sommets.
On l'appelle la sphère 'circonscrite' au tétraèdre.
Preuve: Soit K le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, et soit Δ la droite orthogonale en K au plan (ABC).
Alors, par le théorème de Pythagore, tout point de Δ est équidistant des 3 sommets A,B et C.
Soit maintenant P le plan médiateur de [AD] (ou de [BD] ou de [CD]).
L'hypothèse faite sur les 4 points A,B,C,D assure que P et Δ sont sécants en un point J.
Ce point est évidemment équidistant des 4 sommets.
Intersection d’une sphère et d’un plan, plan tangent à une sphère en un point.
Soient S une sphère de centre O et de rayon r , un plan de l'espace, nommons H le projecté orthogonal de O sur le plan et d = OH, la distance du point O au plan . Applet Geogebra
Si d > r alors le plan et la sphère S n'ont pas de points en commun, l'intersection est vide.
Si d = r alors le plan et la sphère S ont un unique point en commun et dans ce cas on dit que le plan est tangent en H à S
Si d < r alors l'ensemble des points commun au plan et la sphère S est le cercle du plan de centre H et de rayon sqrt(r²-d²)(Théorème de Pythagore ), dans ce cas on dit le plan est sécant à S.
Fonction scalaire de Leibniz
Produit Vectoriel
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