Olá, estudante! Seja bem-vindo(a) à lição 15 de Controladoria e Finanças! Nesta lição, eu te apresentarei, de maneira clara e de fácil entendimento, uma introdução à Matemática Financeira. Trata-se de um ramo dos estudos em finanças de grande importância para a gestão financeira empresarial. A Matemática Financeira constitui o ramo da Matemática que estuda a mudança do valor do dinheiro no decorrer do tempo tendo, como base, certa taxa de juro. 

A Matemática Financeira compreende um conjunto de técnicas e formulações extraídas da Matemática, com a finalidade de solucionar os problemas relacionados às finanças de modo geral. Basicamente, ela consiste no estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. Por sua vez, o valor do dinheiro no decorrer do tempo se relaciona à ideia de que, ao longo do tempo, o valor do dinheiro muda, quer em função de se ter a oportunidade de aplicá-lo, obtendo-se, assim, uma remuneração (juros) sobre a quantia envolvida, quer em função da desvalorização devido à inflação.

Após esta lição, você estará apto(a) a desenvolver tabelas e análises sobre os regimes de capitalização, evidenciando os valores monetários ao longo do tempo. Você terá subsídio para tomar decisões financeiras empresariais no que diz respeito aos juros, à rentabilidade e ao comprometimento financeiro.

Entendendo a importância de conhecer e comparar as variáveis envolvidas nos regimes de capitalização financeira, o(a) Técnico(a) em Administração pode contribuir para que a empresa pague menos juros, ao realizar uma operação de contratação financeira, ou receba mais juros, ao realizar uma operação de venda a prazo com preço diferenciado.

É de grande importância que a empresa tenha em mãos os relatórios analíticos que demonstrem o ônus ou o bônus financeiro decorrente das operações realizadas. Para que seja possível apresentar um parecer orientativo para a tomada de decisão, é necessário conhecer os detalhes envolvidos nas vantagens e nas desvantagens dos regimes de capitalização, uma vez que, dependendo do tipo de capitalização, o ganho ou o pagamento pode apresentar caráter exponencial de juros.

Diante disso, é possível perceber que saber analisar e interpretar os valores provenientes dos cálculos da capitalização é realmente uma condição indispensável ao(à) profissional Técnico(a) em Administração.

De acordo com os conteúdos apresentados até o momento, você acredita que seria possível apresentar uma análise sobre os “juros” envolvidos na operação sem os devidos conhecimento e entendimento dos regimes de capitalização?

Para exemplificar o conteúdo desta lição, trabalharei uma aplicação em que a diretoria de uma grande empresa localizada na cidade de Curitiba, no Paraná, pretende realizar um investimento financeiro e solicita uma comparação entre os dois regimes de capitalização conhecidos atualmente, com o objetivo de visualizar os resultados projetados e tomar a decisão com maior assertividade.

O investimento pretendido é da ordem de 100 mil reais pelo período de seis anos, enquanto a taxa de retorno é de 15% (quinze por cento) ao ano. Para que seja realizado esse investimento, a diretoria da empresa captará, junto a uma instituição financeira, o mesmo valor (100 mil reais), tendo o mesmo período para pagar (6 anos) a uma taxa de juros de 12% ao ano.

Com essas informações, o(a) profissional Técnico(a) em Administração inicia os cálculos e demonstra o resultado das operações conjuntas (captação e investimento) em cada regime de capitalização, assim como é descrito a seguir.

Captação: 

• O valor de 100 mil reais a ser pago daqui seis meses, a uma taxa de 12% ao ano, considerando a capitalização simples, deverá ser liquidado por 172.000,00.

• O valor de 100 mil reais a ser pago daqui seis meses, a uma taxa de 12% ao ano, considerando a capitalização composta, deverá ser liquidado por 197.382,27.

Investimento: 

• O valor de 100 mil reais a ser recebido daqui seis meses, a uma taxa de 15% ao ano, considerando a capitalização simples, deverá ser liquidado por 190.000,00.

• O valor de 100 mil reais a serem recebidos daqui seis meses, a uma taxa de 15% ao ano, considerando a capitalização composta, deverá ser liquidado por 231.306,08.

Diante desses resultados, a conclusão é a de que, se a operação fosse realizada considerando a capitalização simples, o resultado líquido da empresa seria de 18.000,00. Por outro lado, se fosse considerada a capitalização composta, o resultado seria de 33.923,81.

A Matemática Financeira tem por objetivo o manuseio de fluxos de caixa, visando à transformação deles em outros fluxos equivalentes, os quais permitam uma comparação de maneira mais fácil e segura. Em resumo, podemos afirmar que a Matemática Financeira estuda e analisa as transformações dos fluxos de caixa. De acordo com Hazzan e Pompeo (2005), conhecer os fundamentos da Matemática Financeira é estar apto a tomar ou apoiar decisões mais seguras quanto aos investimentos, dentro de níveis de risco pré-assumidos.

Conceito de juros  

Juro é a remuneração por um capital empregado, mas também pode ser entendido como um rendimento auferido pela aplicação de determinada quantia. Em decorrência disso, os juros podem ser entendidos como uma espécie de aluguel recebido pelo uso do dinheiro por terceiros. 

Samanez (2001) enfatiza que, se, por um lado, temos pessoas e instituições com estoque de capital ocioso, isto é, os "emprestadores de recursos", por outro lado, temos pessoas e instituições necessitadas de capital para desenvolver as próprias atividades, ou seja, os "tomadores de recursos". Será o Mercado Financeiro que estabelecerá um elo de ligação entre as duas partes, a partir de um leque de opções de investimentos e linhas de crédito.

Sob o ponto de vista do emprestador de recursos, o juro que receberá deverá ser capaz de cobrir:

Sob o ponto de vista do tomador de recursos, os juros a serem pagos variarão em função do volume de recursos tomado, do prazo do empréstimo e da própria idoneidade. De qualquer forma, ao tomar dinheiro emprestado, o agente econômico deverá refletir se as receitas provenientes do investimento desses recursos serão capazes de cobrir os juros a serem pagos.

Regimes de capitalização  

O regime de capitalização é um método de cálculo de juros que determina o modo como os juros são calculados e adicionados ao capital inicial de um investimento ou empréstimo ao longo do tempo. Sendo assim, de forma geral, podemos entender que o regime de capitalização é o processo de formação dos juros. Existem dois tipos principais de regimes de capitalização: o simples e o composto. Vejamos com mais detalhes cada um deles.

No Quadro 1, você pode observar com facilidade a diferença entre os dois regimes de capitalização no que diz respeito ao valor dos juros e ao valor do montante.

No regime de capitalização simples, os juros gerados a cada período são calculados sobre o capital inicial empregado, não incidindo, portanto, sobre os juros acumulados. Portanto, os juros são calculados sobre um capital que se conserva constante durante o período de transação. Dessa forma:

Para a realização do cálculo dos juros em capitalização simples, utiliza-se duas fórmulas. A Equação 1 é o memorial para o cálculo do juro (utilizada para o cálculo do valor que será pago ou recebido de juros simples durante a operação), enquanto a Equação 2 é o memorial para o cálculo do montante acumulado (utilizada para o cálculo do valor final da operação, sendo a soma do capital inicial + juros). Vejamos, a seguir, cada uma delas. 

Em que:

M = montante acumulado (os juros somados ao capital emprestado ou empregado).
C = vapital (dinheiro emprestado ou empregado).
i = taxa (deve ser em formato percentual (%)) - exemplo: 20% = 0,20.
n = tempo (prazo de depósito ou de empréstimo).
J = juro (valor calculado sobre o dinheiro emprestado ou empregado, isto é, o valor ganho pela aplicação ou a ser pago pelo empréstimo).

No regime de capitalização composta, os juros incidirão sobre o saldo existente no início de cada período. Consideramos que o conceito de montante não muda, ou seja, o montante é igual ao capital inicial acrescido dos juros. Outra forma de interpretarmos a definição anterior seria dizer que o montante é o regime em que os juros de cada período incidem sobre o montante acumulado no período anterior.

Samanez (2001) afirma que o regime de juros compostos é o mais comum no dia a dia, no sistema financeiro e no cálculo econômico. Nesse regime, os juros gerados a cada período são incorporados ao principal (capital) para o cálculo dos juros do período seguinte, ou seja, o rendimento gerado pela aplicação será incorporado a ela, passando a participar da geração do rendimento no período seguinte. 

É possível asseverar que os juros são capitalizados. Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao capital. No regime de capitalização composta, o dinheiro cresce mais rapidamente do que no regime de capitalização simples.

Para a realização do cálculo dos juros em capitalização composta, são utilizadas duas fórmulas: a Equação 3 é o memorial para o cálculo do juro (utilizada para o cálculo do juro exponencial pago ou recebido durante a operação), enquanto a Equação 4 é o memorial para o cálculo do montante acumulado (utilizada para o cálculo do valor final da operação, sendo a soma do capital inicial e do juro exponencial). Vejamos, a seguir, cada uma delas.

Em que:

M = montante acumulado (os juros somados ao capital emprestado ou empregado).
C = capital (Dinheiro emprestado ou empregado).
i = taxa (deve ser em formato percentual (%)) - exemplo: 20% = 0,20.
n = tempo (prazo de depósito ou de empréstimo).
J = juro (valor calculado sobre o dinheiro emprestado ou empregado, isto é, o valor ganho pela aplicação ou a ser pago pelo empréstimo).

É possível observar que as grandes diferenças entre os regimes de capitalização são o caráter linear apresentado pela capitalização simples e o caráter exponencial apresentado pela capitalização composta.

O Quadro 2 e a Figura 1, que são exibidos a seguir, apresentam uma operação de 1 mil reais a uma taxa de 20% ao período durante oito períodos. A partir deles, é apresentado detalhadamente o comportamento dos montantes acumulados em função dos juros gerados período a período. Isso evidencia a importância de se conhecer os regimes de capitalização.

Nesta etapa da lição, eu apresentarei, de forma detalhada, o passo a passo para o desenvolvimento dos valores relativos à análise do resultado financeiro obtido por uma empresa que utiliza o mecanismo que capta os recursos em uma instituição financeira e investe esse recurso em algum projeto, com o objetivo de haver ganho. Com isso, você verá a aplicação das fórmulas apresentadas ao longo da lição. 

Vamos relembrar os dados do case? O investimento pretendido é na ordem de 100 mil reais pelo período de seis anos, enquanto a taxa de retorno é de 15% (quinze por cento) ao ano. Para que seja realizado esse investimento, a diretoria da empresa captará, junto a uma instituição financeira, o mesmo valor (100 mil reais), tendo o mesmo período para pagar (6 anos) a uma taxa de juros de 12% ao ano.

Captação: 

No case, você entendeu que o valor de 100 mil reais que deverá ser pago daqui a seis meses, a uma taxa de 12% ao ano, considerando a capitalização simples, deveria ser liquidado por 172.000,00. Para chegar a esse valor, foram aplicadas as equações 1 e 2:

Você também entendeu que o valor de 100 mil reais a ser pago daqui a seis meses, a uma taxa de 12% ao ano, considerando a capitalização composta, deveria ser liquidado por 197.382,27. Para chegar a esse valor, foram aplicadas as equações 3 e 4:

Investimento:

No case, você entendeu que o valor de 100 mil reais a ser recebido daqui a seis meses, a uma taxa de 15% ao ano, considerando a capitalização simples, deveria ser liquidado por 190.000,00. Para chegar a esse valor, foram aplicadas as equações 1 e 2:

Você também entendeu que o valor de 100 mil reais a ser recebido daqui a seis meses, a uma taxa de 15% ao ano, considerando a capitalização composta, deveria ser liquidado por 231.306,08. Para chegar a esse valor, foram aplicadas as equações 3 e 4:

Para encontrar o resultado da operação, é necessário fazer somente a diferença entre os valores finais dos investimentos com os valores finais da captação, assim como é visível a seguir.

Resultado da operação considerando a capitalização simples

Resultado da operação considerando a capitalização composta

A partir do detalhamento do exemplo de aplicação, você pode perceber que, com a utilização correta das equações e o entendimento da diferença dos resultados, é possível que a empresa tome decisões mais conscientes sobre os resultados que deverão ser obtidos.