Soient huit particules, huit électrons par exemple, qui seraient, par hypothèse, les huit sommets d’un cube en même temps que les sommets de deux tétraèdres intriqués dans le cube. Quelles devraient être les caractéristiques des lieux occupés par les particules pour que les interactions entre celles-ci manifestent dans leur vibration, à la fois le cube et les tétraèdres ?

Les quatre couples de particules, pris deux à deux de manière opposée, s’inscrivent dans quatre cercles de même diamètre égal à la diagonale reliant deux sommets de faces opposées.

On peut identifier 24 triangles rectangles dont les trois côtés sont un côté du cube, la diagonale d’une face et l’une des diagonales internes au cube.

La liaison, de manière continue des diagonales des faces ( BE, EH, …) met en évidence deux tétraèdres réguliers ADFG et BCEH.

Le rappel d’un résultat obtenu par la théorie permet d’introduire le nombre d’or dans la démonstration.

Le mouvement d’une particule en un lieu du champ de l’espace*vibration est égal à 1/N² , N étant le nombre du mouvement caractérisant le lieu. Si on considère trois particules E, B et G :

- les distances, ou espaces relatifs, les séparant sont égales à N_E * N_G , N_E * N_B et N_B * N_G .

- si le triangle EBG est un triangle rectangle dont E est le sommet, les mouvements respectifs des trois particules E, B et G sont liés par la relation :

1 / N_E² = 1 / N_G² + 1 / N_B² (1)

Le rapprochement cette dernière expression de la propriété remarquable du nombre d’or j :

1 / j ⁿ = 1 / j ⁿ⁺¹ + 1 / j ⁿ⁺² (2)

permet de déduire que :

si les nombres du mouvement N_E , N_B et N_G de trois particules E, B et G sont égaux à j ^n/2 , j ^(n+1)/2 et j^(n+2)/2 ces trois particules forment un triangle d’or dont E est le sommet.

Le tableau suivant donne l’évolution des nombres du mouvement N des 8 particules composant les cube, tétraèdres et triangles d’or. Les particules étant indifférenciées, leurs nombres du mouvement vibrent entre les valeurs j ^n/2 , j ^(n+1)/2 et j^(n+2)/2.

Ainsi, le cube d’or est manifesté par l’intrication de deux tétraèdres d’or dont les vibrations des huit particules constituant leurs sommets sont telles que le mouvement de l’une des particules est égal à la somme des mouvements de deux autres. Les particules sont alors, et en même temps, les sommets d’un cube, de deux tétraèdres et de 24 triangles d’or. Le côté du cube est égal à j ^(2n+1)/2 , l’arête des tétraèdres intriqués égale à j ^(3n+1)/2 et les côtés des triangles à j ^(2n+1)/2, j ⁿ⁺¹ et j ^(2n+3)/2 .