Résumé

Le ton quantique fondamental est égal à 2^1/162 ; c’est le ton déterminé par le mouvement quantique des particules. Il divise l’octave en 108 tons quantiques fréquentiels dont la valeur est égale à la puissance 3/2 du ton quantique fondamental, soit 2 ^1/108 .

L’accord qui structure la gamme quantique est l’accord de sixte, intervalle de 81 tons quantiques. L’accord de sixte correspond à la multiplication ou la division par deux de l’action quantique des particules électroniques mises en mouvement par apport d’énergie.

La fréquence de référence pour l’établissement des gammes, est la fréquence de vibration de l’électron en son lieu de repos dans le champ de l’Espace / Temps; c’est la fréquence du do# de l’octave 11 augmentée de 4 tons quantiques ; sa fréquence est égale à 72 932,7252 hertz.

Les fréquences du « la quantique » des octaves 0 et 3 sont respectivement de 55.0972 et 440.7780 hertz.

Le nombre de tons quantiques a, ou intervalle quantique séparant une note de l’électron, suffit à la qualifier.

Les fréquences des notes augmentées, diminuées, sur-augmentées ou sous-diminuées sont parfaitement définies par l’intervalle quantique qui les sépare de la note : plus ou moins 6 tons quantiques pour la note diminuée ou augmentée, plus ou moins 15 tons quantiques pour la note sous-diminuée ou sur-augmentée. L’intervalle entre majeure et mineure est de 9 tons quantiques.

Tous les accords entre notes quantiques sont justes, il n’y a pas de comma.

La gamme tempérée est un ajustement des fréquences pour reproduire, au mieux, la structure de la gamme quantique.

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Fréquences quantiques et musicales

Les sons sont générés par la mise en vibration d’un nombre plus ou moins important d’électrons.

La fréquence, ou vibration relative des électrons, est directement liée au nombre d’électrons mis en mouvement : plus le nombre d’électrons est grand, plus l’action est grande et plus la fréquence est faible. Pour que la fréquence soit stable il faut que le nombre du mouvement de la particule déplacée soit constant. On peut dire que « tenir une note » c’est maintenir une particule en son lieu propre, lieu autre que son lieu naturel.

Deux nombres suffisent pour caractériser complètement l’état d’une particule dans le champ de l’espace*vibration : le nombre de l’action, noté N_o et le nombre du mouvement, noté N. Le premier nombre quantifie la particule, le second, en la qualifiant, permet de déterminer toutes ses qualités physiques, notamment sa vibration égale à 1/N³ ainsi que sa fréquence ou vibration relative dans le champ de l’espace*vibration.

La formule suivante permet de calculer, en hertz, les fréquences des notes musicales :

f = 243865,26444 / ( N / 2 ) ^3/2 [ 1 ]

avec :

u_n’ = 243 865,26444 s^-1 dans le système d’unités international SI ; c’est l’unité

de fréquence définie par la théorie à partir de la constante de Planck, de la vitesse de la lumière et de la masse de l’électron

N nombre du mouvement de la particule

Ainsi, une fréquence musicale est déterminée lorsque l’on connaît le nombre de son mouvement N.

Ton et intervalle quantiques

Une fréquence est multipliée ou divisée par 2 lorsque le nombre du mouvement N est divisé ou multiplié par 2 ^2/3 . Si, par ailleurs, la structure souhaitée pour l’octave est de n tons, l’unité de ton sera égale à 2 ^2/3n .

L’octave divisée en 12 demi-tons n’étant pas pleinement satisfaisante des altérations ont été introduites pour augmenter, diminuer, sur-augmenter ou sous-diminuer la fréquence des notes. Le tableau suivant montre qu’une division de l’octave en 36 tons aurait été plus judicieuse pour intégrer ces altérations.

Le Tableau 2 permet de constater que, lorsque le rapport des actions de deux particules est égal à 2, l’intervalle qui sépare les fréquences de ces particules en leur lieu naturel est un intervalle de sixte, soit 27 tons si l’octave est divisée en 36 tons.

Pour réaliser la complétude d’action, soit 81 triplets, l’électron devant ajouter un triplet à son action, il est alors possible de retenir un « pas d’action » de 2 ^1/81 triplets et un alignement des fréquences sur l’accord de sixte, pour définir des « pas de mouvement » et des « pas fréquentiels » de valeurs égales à ( 2 ^1/81) ^1/2 soit 2 ^1/162 et ( 2 ^1/162) ^3/2 soit 2 ^1/108.

La gamme, divisée en 108 intervalles quantiques fréquentiels permet de définir un ton quantique ou unité d’intervalle de mouvement et un ton quantique fréquentiel ou unité d’intervalle de fréquence entre notes ayant pour valeurs :

ton quantique = ( 2 ^{1 / 81}) ^1/2 = 2 ^1/162 = 1.004287853

ton quantique fréquentiel = ( ton quantique ) ^3/2 = 2 ^1/108 = 1.006438669

Le demi-ton de la gamme tempérée se trouve ainsi relié aux tons quantiques par la formule :

demi-ton = ( ton quantique fréquentiel )⁹ = ( ton quantique ) ^{27 / 2} = 2 ^1/12

A partir du ton quantique ainsi défini et de la formule [ 1 ], nous pouvons établir la relation liant, d’une part, les fréquence f_R et nombre du mouvement N_R d’une note prise comme note de base et, d’autre part, les fréquence f_a et nombre du mouvement N_a d’une note séparée par un intervalle de a tons quantiques par rapport à la note de base :

f_a = u_n’ / ( N_a / 2 ) ^3/2 = f_R / 2 ^a/108 [ 2 ]

avec

N_a = N_R* 2 ^a/162 [ 3 ]

a nombre entier, positif, négatif ou nul, a égal à 0 correspondant à la fréquence de la note de base.

2 ^a/162 = intervalle quantique

2 ^a/108 = intervalle quantique fréquentiel

Groupes de notes quantiques

Toutes les notes qui ont entre elles un intervalle multiple de 81 tons quantiques appartiennent à un même groupe ; il y a donc 81 groupes de notes quantiques que nous ramenons ici à 9 groupes afin de simplifier l’exposé.

Neuf tons quantiques ajoutés ou retranchés à une note d’un groupe fait passer cette note dans le groupe qui la précède ou qui la suit.

Les tableaux suivants présentent les 9 groupes de notes pour les octaves – 1 à 11 et mettent en évidence le caractère cyclique des groupes et des octaves. En effet, 324 tons quantiques, soit 4 sixtes ou 3 octaves, se répètent cycliquement. Ainsi, définir 3 octaves c’est définir l’ensemble des octaves et des groupes de notes, puisque, après un cycle de 3 octaves, toute note réintègre le groupe qui était le sien au départ.

C’est sur cette structure de groupes que les gammes quantiques peuvent être construites .

Si nous prenons le « la » à 440 hertz de la gamme tempérée comme note de base, la formule [ 2 ] permet de calculer la valeur du nombre du mouvement N _{la 440} de cette note. Le calcul donne une valeur égale à 134.946463. De même, la fréquence du sol # de l’octave 3 étant égale à 415.30 hertz, la valeur du nombre du mouvement N _{sol #} est de 140.2454.

Le sol # 3 étant 9 tons quantiques au dessous du la 440, nous devons vérifier l’égalité :

N _{sol #3} / N _{la440 =} 2 ^9/162 ₌ 2 ^1/18

soit :

N _{sol #3} / N _la440 = 1.039267

2 ^1/18 = 1.039259

Le faible écart que nous constatons permet, dès à présent, de supposer que la structure de la gamme tempérée ne devrait pas être très éloignée de celle, quantique, que nous nous proposons d’établir ici. Voyons maintenant si cette fréquence de 440 hertz prise comme fréquence de référence internationale peut être justifiée par la physique quantique ou, si tel n’était pas le cas, une autre fréquence de référence pourrait lui être substituée.

Toute fréquence pouvant être prise comme fréquence de base et dès lors que les sons sont émis par la vibration de particules électroniques sortis de leurs lieux naturels, il semble que la meilleure fréquence de référence qui puisse être choisie soit celle de l’électron en son lieu naturel pour lequel le nombre de son mouvement N_e est égal au nombre de son action No soit :

N_o = N_e = ( 80 / 4 ) ^1/2 = 4. 472 135 95

La fréquence de vibration de l’électron en son lieu naturel f_e , calculée à partir de la formule [ 2 ] a, dès lors, la valeur :

f_e = u_n’ / (N_e * 2 ^0/162 / 2 ) ^3/2 = u_n’ / ( 4.47213595 / 2 ) ^3/2

f_e = 72 932. 72519250 hertz

Ainsi, la fréquence f_e de l’électron libre en son lieu naturel étant prise comme fréquence de référence, les fréquences musicales des notes dont l’intervalle par rapport à l’électron libre est de a tons quantiques, se calculent à partir de la formule suivante :

f_a = 72932.72519250 / 2 ^a/108 [ 4 ]

avec : a = 0,1,2, … a, intervalle quantique ou nombre de tons quantiques par rapport à l’électron.

Chaque note se trouve ainsi parfaitement identifiée et de manière univoque par le nombre de tons quantiques a qui la sépare de la vibration de l’électron en son lieu naturel. Pour exemple, le « la » de l’octave 3 pris actuellement comme référence internationale, pourrait être remplacé par le « la 796 » dont l’intervalle est de 796 tons quantiques par rapport à l’électron, sa fréquence s’établissant alors à :

la 796 = 72932.725192509 / 2 ^796/108 = 440.7780 hertz

A l’exception de l’octave 3 pour lequel les fréquences des notes sont données pour des intervalles de 1 ton quantique, on trouvera dans le tableau suivant, pour les octaves + 11 à - 1, les fréquences pour des intervalles de 9 tons quantiques ou 1 ton quantique pour l’octave 3.