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Crème des cours
Cours de topologie de M. Speder, licence 1978-79 à l'un. de Nice, notes de son étudiant D.-J. Mercier.
TD de topologie de licence en 1977-78 à l'université de NICE (Valrose).
Cours d'analyse de André Giroux sur la page perso de l'auteur.
Cours d'analyse mathématique à l'IUFM de Guadeloupe en 2005 (Antoine Delcroix).
Cours de mathématiques de Claude Gilormini (Ecole d'ingénieur ESSTIN, Nancy 1985).
Cours de mathématiques supérieures (A. Soyeur, F. Capaces & E. Vieillard-Baron)
Cours de Robert Rolland (documents en algèbre, analyse, géométrie, codage et cryptographie).
Etude élémentaire des fonctions d'une variable complexe - tome I, de Robert Rolland (69 p.).
Le Frido - Les quelques premières années de mathématiques de Laurent Claessens (2825 pages pour préparer l'agrégation externe).
Livres de William Trench en analyse mathématiques (en anglais).
Cours élémentaire d'algèbre linéaire sous forme d'exercices
Equations linéaire. Théorème de Rouché-Fontené
Polynômes cyclotomiques. Théorème de Wedderburn
Propriétés métriques des courbes
Niveau DOCTORAL
Lectures (wonderous stories)
Magazine du parcours maths à l'IUFM de Guadeloupe en 2012-13 - Les 8 numéros destinés à mes étudiants qui préparaient le CAPES en 2013.
Somme De Brouncker : calcul d'une valeur approchée de ln2 (Geoffrey Lescaux)
Probabilités & statistiques
Pack Probabilités :
1. Brochure IREM 165 Statistiques & citoyenneté
2. Paradoxe de Monty Hall
Cours - Statistiques de première L (F. Laroche)
Recueil d'annales en Mathématiques - Terminale S - Probabilités (discrètes et continues) (Frédéric Demoulin)
Probabilité sur un ensemble fini cours de terminale E Maistrance CT.
Triangle de Pascal sur Excel (vidéo)
Sélection de documents classés par ordre alphabétique
Algebraic Geometry de J. S. Milne.
Algebraic Number Theory de J. S. Milne.
Fields and Galois Theory de J. S. Milne.
Lectures on Etale Cohomology de J. S. Milne.
Lectures proposées par Dominique Hoareau pour l'agrégation en analyse mathématique
Ces développements sur des thèmes d'analyse mathématique conviennent pour la préparation à l'agrégation :
Arithmétique dans Z : Un bien joli document de 28 pages sur l'arithmétique qui sort des sentiers battus et propose des questions du jury et des exercices bien sentis.
Cauchy-Schwarz par le calcul différentiel : Démonstration du Théorème du multiplicateur de Lagrange (ou Théorème des extrema liés), et applications. Pour la préparation à l'agrégation.
Convexité, monotonie, intervalles de R : Des résultats fins sur la convexité (une fonction convexe est localement lipschitzienne, raccordement convexe, critère local de convexité pour une fonction continue...), des passages du local au global (par exemple un critère local de croissance d'une fonction continue) et des raffinements subtils. Ces pages permettent d'approfondir certaines notions d'analyse et d'utiliser les grand théorèmes in situ. Convient aux agrégatifs ou pour un approfondissement.
De l´individuel au collectif : revue de quelques théorèmes d´existence en mathématiques - Un lemme de Schur affirme que tout endomorphisme d´un espace vectoriel E, qui stabilise chaque droite de E, est une homothétie. A l´instar de ce premier résultat, on envisage les conclusions du type : il existe un objet y tel que, quel que soit l´objet x, x et y sont reliés par une propriété P(x,y). On désigne par la majuscule (P) un tel énoncé et par la minuscule idoine (p) la proposition écrite en intervertissant dans (P) les quantificateurs ∃ et ∀. Dans (p), à x fixé, l´objet y créé est le bien ou la propriété de x. On cherche, dans la suite du texte, à exhiber des notions ”socialisantes” qui permettent de remonter de (p) à (P).
Fonction continue contre fonction dérivée : Voici une série de réflexions sur le fait d'être la dérivée d'une fonction. On y trouve "le coup du triangle" avec une preuve d'un Théorème de Darboux ("la dérivée d'un fonction vérifie la propriété des valeurs intermédiaires"), de la stricte monotonie, et une réflexion fine sur le Théorème des Accroissements Finis. L'exposé termine en montrant la construction d'une fonction dérivée f telle que f^2 n'est pas une fonction dérivée. Six pages intéressantes pour les capétiens et les agrégatifs !
Forme linéaire, forme bilinéaire & proportionnalité : Trois pages de révision de cours et d'exercices.
Intégrer pour mieux dériver : Un texte qui regroupe quelques équations fonctionnelles classiques (partie 1) et un résultat (Partie 2) pouvant illustrer plusieurs leçons d'agrégation interne (fonctions de variables réelles, systèmes linéaires...). Un seul mot d'ordre : intégrer pour mieux dériver.
Points fixes dans R : 26 pages sur l'existence et la recherche de points fixes dans R.
Séries à termes positifs et inégalités : Une illustration du lemme de Césaro et de la transformation d' Abel.
Séries de Fourier : Un document de 76 pages où l'auteur choisit les séries de Fourier comme décor, et présente des méthodes d'analyse instructives et essentielles pour mener à bien quelques problèmes classiques ou parfois originaux.
Meilleure approximation affine : Donner du sens à une notion.
Lectures proposées par Richard Gomez
Le Pack lectures de mathématiques de Richard Gomez intéressera les étudiants en master ou la préparation à l'agrégation de mathématiques. Voici le programme :
1. Classification des courbes algébriques de degré 2 - Le but de cet article est d'étudier les courbes algébriques de degré deux en suivant la méthode du cours de Mikhail Postnikov [Lectures on geometry, éditions MIR]. Cette méthode est à la portée des lycéens puisqu'elle n'utilise pas le théorème de réduction des formes bilinéaires. On donne la classification des courbes de degré deux dans les cas complexes et réel-complexes. On démontre en particulier que les seules courbes réelles de degré deux sont les coniques et les paires de droites. On termine en donnant la classification des courbes projectives de degré deux. Nous expliquons en annexe ce que sont les espaces projectifs de manière élémentaire.
2. Classification des endomorphismes du plan vectoriel réel - Cet article montre que tout endomorphisme du plan vectoriel réel est la composée d'une homothétie avec soit une projection, soit une symétrie, soit une rotation hyperbolique, soit une rotation elliptique, soit une transvection.
3. Diagonalisation des matrices symétriques - A quoi sert le produit scalaire ? Cet article montre une application importante du produit scalaire : la diagonalisation des matrices symétriques réelles, hermitiennes et normales.
4. Formes différentielles et analyse vectorielle - Cet article est destiné aux étudiants en licence de mathématiques préparant un module d'analyse vectorielle. Il peut également intéresser les "matheux" curieux de savoir à quoi ressemblent les lois auxquelles sont soumis les champs électro-magnétique, les fameuses équations de Maxwell. A la section 1 on définit de la manière la plus simple possible la notion de forme différentielle et de dérivée extérieure : le fameux "d". On utilise ensuite d pour définir de manière naturelle le gradient, la divergence et le rotationnel. On donne le théorème de Stokes sans démonstration et on utilise ce résultat pour établir les formules d'Ostrogradski, Green-Riemann, Stokes, Kelvin, formule du gradient et formule du rotationnel. On donne des applications en mécanique des fluides, électricité, diffusion d'une concentration, et propagation de la chaleur. La dernière section est consacrée aux équations de Maxwell. Ce document sera complété (à terme) par une série d'exercices corrigés. Ceux qui veulent aller plus loin dans l'étude des formes différentielles pourront consulter l'article à venir du même auteur.
5. Formes quadratiques - Cours et applications. 85 pages. Ce cours s'adresse aux étudiants des classes préparatoires, ainsi qu'aux candidats aux CAPES et à l'agrégation interne.
6. Séries de Fourier - Cours et exercices corrigés. 97 pages. Ce cours s'adresse aux étudiants des classes préparatoires, ainsi qu'aux candidats aux CAPES et à l'agrégation interne.
7. Structure réelle-complexe - Ceci est un article de synthèse sur différentes situations mathématiques où l'on passe des coefficients réels aux coefficients complexes, pour ensuite revenir aux réels. On connaît tous les espaces vectoriels réels et les espaces vectoriels complexes, mais on connaît moins les espaces réels-complexes. Ce sont des espaces complexes sur lesquels on a défini une conjugaison et donc des vecteurs réels. Ces structures apparaissent naturellement lorsque l'on introduit des coordonnées complexes. Nous donnons des applications de cette notion à la diagonalisation des matrices symétriques, aux suites définies par une relation de récurrence linéaire, aux équations différentielles linéaires et aux séries de Fourier.
8. Théorie de la relativité restreinte - Nous proposons de poser le décor mathématique dans lequel sont écrites les équations de la théorie de la relativité restreinte. Nous montrons ensuite des phénomènes connus depuis la révolution provoquée par Albert Einstein. Nous montrons par exemple que le temps ne s’écoule pas de la même manière pour un observateur au repos et un observateur en mouvement. Nous montrons également que les dimensions d’un objet dépendent de celui qui l’observe, etc.
9. A la pêche aux groupes avec Python - A l'occasion de la sortie de son aide-mémoire pour Python 3 aux éditions Ellipses (Le petit Python, mai 2017), Richard Gomez nous propose une récréation amusante sur les groupes. Il s'agit d'écrire un programme capable de générer tous les groupes finis à isomorphisme près. Cet article a été publié dans la revue Mathématice et sur le site MégaMaths.
Résumé- La structure d'un groupe est contenue dans sa table de Pythagore. Si on numérote les éléments d'un groupe fini d'ordre n, cette table s'identifie naturellement à une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans {1,...,n}. Il est clair que dans une telle matrice, chaque ligne et chaque colonne est une permutation de (1,...,n). Dans le présent article, une telle matrice est appelée sudoku. Il est facile d'écrire un programme en Python générant tous les sudokus d'un ordre donné, mais attention : un sudoku quelconque ne définit pas forcément un groupe. En revanche, si la loi interne définie par un sudoku est associative, alors on a affaire à un groupe. Tester une matrice pour savoir si elle est associative n'est pas difficile. Nous proposons ici un programme capable de trouver tous les sudokus associatifs d'ordre inférieur ou égal à 6 (au-delà, les calculs prennent trop de temps). Notre programme fait ensuite un tri : il ne garde qu'un groupe par classe d'isomorphisme. Au final, on se retrouve avec la liste complète des groupes d'ordre au plus 6, à isomorphismes près.
Python
Installation de Python - PYZO est un environnement de Python permettant de télécharger facilement la bibliothèque Anaconda pour les mathématiques. Voici les instructions d'installation de PYZO et PYTHON.
Travailler l'algorithmique et la programmation avec le langage Python en classe de seconde.
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