W tej części kursu dowiesz się, czym są wnioskowania oraz jak sprawdzać poprawność wnioskowań (materialną i formalną).

Wnioskowania

Wnioskowanie jest procesem myślowym polegającym na przejściu od zdań uznanych wcześniej za prawdziwe (przesłanek) do nowego zdania (wniosku czy konkluzji), które dotąd nie było uznawane za prawdziwe bądź wydawało się słabo uzasadnione. Pojęcie wnioskowania wiąże się z pojęciem wynikania logicznego. Pojęcia te nie są jednak tożsame: wynikanie logiczne jest obiektywną relacją między zdaniami (jakieś zdanie wynika bądź nie ze zbioru innych zdań niezależnie od tego, czy przeprowadzamy wnioskowanie, by owo wynikanie ujawnić). Oprócz tego nie wszystkie wnioskowania są oparte na wynikaniu logicznym.

Jeśli wiesz, czym jest argumentacja i jak budujemy argumenty, to możesz czytać dalej. Jeśli nie wiesz bądź nie pamiętasz, to zanim przejdziesz dalej, przeczytaj rozdział ARGUMENTACJA.

Wnioskowania niededukcyjne

Wnioskowania bywają dedukcyjne i niededukcyjne. We wnioskowaniach dedukcyjnych z przesłanek logicznie wynika wniosek. Jeśli we wnioskowaniu między przesłankami a wnioskiem nie zachodzi stosunek wynikania logicznego, to wnioskowanie jest niededukcyjne.

Do wnioskowań niededukcyjnych należy: 

• indukcja (enumeracyjna zupełna i niezupełna, eliminacyjna);

• wnioskowanie przez analogię;

• abdukcja;

• wnioskowanie statystyczne.

Indukcja enumeracyjna

Jest to wnioskowanie, które przebiega według następującego schematu: 

przedmiot δ1 należący do klasy Δ  posiada cechę X, przedmiot δ2 należący do tej samej klasy Δ, również posiada cechę X, ...., przedmiot δn należący do tej samej klasy Δ, również posiada cechę X; nie stwierdzono istnienia przedmiotu γ, który należałby do Δ, a nie posiadał cechy X. Tym samym wszystkie przedmioty należące do klasy Δ posiadają cechę X.

Indukcja numeracyjna jest zupełna, jeśli mamy dostęp do wszystkich przedmiotów należących do Δ, w przeciwnym razie indukcja numeracyjna jest niezupełna. W tej ostatniej sytuacji stwierdzamy, że skoro niektórym przedmiotom z klasy Δ przysługuje cecha X, to wszystkim przedmiotom z klasy Δ przysługuje cecha X. Wystarczyłby zatem chociażby jeden przedmiot z klasy Δ, który nie ma cechy X, by takie wnioskowanie zawiodło.

Przykład indukcji numeracyjnej zupełnej: nauczyciel sprawdza obecność uczniów w 30-osobowej klasie poprzez wyczytywanie nazwisk. Pyta się zarazem, czy zrobili pracę domową. Uczeń 1 jest obecny i zrobił pracę, uczeń 2 jest obecny i zrobił pracę, ..., uczeń 30 jest obecny i zrobił pracę. A zatem nauczyciel wnioskuje: Wszyscy obecni uczniowie odrobili pracę domową. Wnioskowanie takie jest niezawodne (w tym wnioskowaniu przesłanki wynikają z wniosku, a wniosek z przesłanek).

Przykład indukcji numeracyjnej niezupełnej: grudka 1 soli rozpuszcza się w wodzie, grudka 2 soli rozpuszcza się w wodzie, .... Chociaż nie obserwowaliśmy wszystkich grudek soli (nie mamy do nich dostępu), to wnioskujemy, że wszsystkie gródki soli rozpuszczają się w wodzie.

We wnioskowaniu indukcyjnym na podstawie obserwacji jednostkowych zdarzeń dochodzimy do wniosków, które stwierdzają związki przyczynowe (na przykład, na podstawie jednej zgodności, jednej różnicy, współtowarzyszących zmian itp.[tzw. kanony Milla]). Na przykład, jeśli jakaś okoliczność stale towarzyszy występowaniu jakiegoś zjawiska (podczas gdy inne ulegają zmianie), to okoliczność ta jest skutkiem bądź przyczyną tego zjawiska:

Wczoraj wypiłem pół litra wódki, popiłem woda sodowa, a dzisiaj - kac. Przedwczoraj tylko trzy szklanki koniaku, trochę wody sodowej, a wczoraj kac gigant. Trzy dni temu zaraz, co to było? Aha, urodziny szefa? No wiec whisky i ciepła (brr) woda sodowa, a przedwczoraj? Kac. Wniosek? - Woda sodowa mi szkodzi. (Pogonowski 2007)

Wnioskowanie przez analogię

Jest to rozumowanie, w którym na podstawie przesłanek stwierdzających, że przedmiot X jest pod względem pewnych cech podobny do przedmiotu Y, dochodzimy do wniosku, że X jest podobny do Y pod względem jeszcze jednej cechy. Trafność wniosku zależy od tego, czy podobieństwo jest istotne czy powierzchowne (czy cechy, z uwagi na które porównujemy przedmioty, są cechami istotnymi, czy powierzchownymi). Schemat takiego rozumowania:

X i Y są do siebie podobne pod względem cech A, B i C. X posiada jeszcze jedną cechę, D. A zatem Y też prawdopodobnie ma cechę D.

Jeśli podobieństwo porównywanych przedmiotów jest powierzchowne (czyli porównujemy przedmioty ze względu na nieistotne cechy), to wnioskowanie przez analogię w takim przypadku prowadzi do błędu (błędna analogią):

Planety krążą wokół gwiazd. Elektrony krążą wokół protonów i mogą przeskakiwać z orbity na orbitę. A zatem planety też mogą przeskakiwać z orbity na orbitę.

Abdukcja

Jest to przeciwieństwo dedukcji. W dedukcji z tego, że wiemy A, możemy wyprowadzić wniosek B, który jest konsekwencją A. W abdukcji jest odwrotnie: z tego, że wiemy A, chcemy uzyskać B - czyli coś, czego konsekwencją jest A. Bardzo często rozumowania abdukcyjne przeprowadzamy, kiedy szukamy wyjaśnienia (przyczyny), dlaczego A zaszło.

Przykład: załóżmy, że gram w bilarda, wychodzę na chwilę z pokoju, wracam i obserwuję, że po stole bilardowym toczy się bila nr 8. Dokonuję wnioskowania abdukcyjnego: bila nr 8 jest w ruchu, ponieważ została uderzona białą bilą przez mojego współzawodnika. Jest to hipoteza, która wyjaśnia zaobserwowany fakt. 

Dobra hipoteza powinna być możliwa do weryfikacji, bardziej wiarygodna od alternatyw, spójna ze wszystkimi faktami i unikająca przypadkowych korelacji.

Wnioskowania statystyczne

Ze wnioskowaniem statystycznym mamy do czynienia wtedy, kiedy na podstawie próbki statystycznej dotyczącej części populacji wnioskujemy na temat całej populacji. Przykładem są sondaże wyborcze: na przykład na podstawie analizy wyników głosowania 10 tysięcy respondentów wnioskujemy, że w taki właśnie sposób zagłosowało 10 mln. Kluczowym aspektem wnioskowania statystycznego jest dobieranie reprezentatywnej puli (czyli takiej, której struktura pod względem badanej cechy była zbliżona do struktury populacji). Na przykład wyniki sondażu wyborczego wśród 10 tys. wyborców w wieku poniżej 20 lat z dużym prawdopodobieństwem nie dadzą się uogólnić.

Wnioskowania niededukcyjne są wnioskowaniami zawodnymi, w przeciwieństwie do wnioskowań dedukcyjnych.

Dedukcyjne wnioskowania

Poprawność wnioskowań

Rozważmy następujące wnioskowanie:

1. Wszyscy kochają moje dziecko

2. A moje dziecko kocha tylko mnie

------------------------

3. Zatem jestem własnym dzieckiem

Wnioskowanie wydaje się niedorzecznie, niemniej jednak wniosek rzeczywiście wynika z przesłanek (skoro wszyscy kochają moje dziecko, to moje dziecko też (czyli kocha samo siebie). Ale skoro moje dziecko kocha tylko mnie, to jedyną osobą, którą moje dziecko kocha, jestem ja. Zatem muszę być własnym dzieckiem). Co w tym wnioskowaniu jest jednak nie tak? - To, że przesłanki nie są prawdziwe (mimo że się wydają takie na pierwszy rzut oka). Czyli pierwszym koniecznym warunkiem poprawnych wnioskowań jest prawdziwość przesłanek (poprawność materialna). Drugim koniecznym warunkiem jest wynikanie wniosku z przesłanek (poprawność formalna). 

Sprawdzanie materialnej poprawności wnioskowań

Rozważmy następujące wnioskowanie:

1. Jeśli wchodzę na górę, to z niej schodzę.

2. Jeśli schodzę z góry, to się nie męczę.

-----------------------

3. Zatem jeśli wchodzę na górę, to się nie męczę.

Wniosek jest ewidentnie fałszywy (mimo że wnioskowanie przebiega według reguły niezawodnej (p→q oraz q→r, a zatem p→r). Co poszło nie tak w tym wnioskowaniu? Czy na pewno przesłanki są prawdziwe? Przesłanki tego wnioskowania mają postać implikacji; by wykazać, że są fałszywe, należy zastanowić się, czy jest możliwa sytuacja, w której poprzednik implikacji jest prawdziwy, a następnik fałszywy. Rozważmy przesłankę 2. Ktokolwiek, kto schodził z Rysów do Morskiego Oka, powie, że schodzenie z góry może być bardzo męczące, a zatem przesłanka 2 jest fałszywa (zresztą przesłanka 1 też). Wykazanie fałszywości chociażby jednej przesłanki jest wystarczające do stwierdzenia, że wnioskowanie nie jest poprawne pod względem materialnym. 

By sprawdzić, czy wnioskowanie jest poprawne pod względem materialnym, należy zastanowić się, czy nie da się wskazać kontrprzykładu - sytuacji, w której chociażby jedna z przesłanek będzie fałszywa. Jeśli taki kontrprzykład uda się znaleźć w przypadku chociażby jednej z przesłanek, to wnioskowanie nie jest poprawne pod względem materialnym.

Uwaga: materialna poprawność wnioskowań nie zależy od tego, czy wnioskowanie jest poprawne pod względem formalnym (czy między przesłankami a wnioskiem zachodzi stosunek wynikania). 

***

Jeśli wiesz, jak należy sprawdzać poprawność materialną wnioskowań, to spróbuj uratować bibliotekę Aleksandryjską przed spaleniem:

[Rozumowanie Kalifa Omara]: 

Jeżeli książki z Biblioteki Aleksandryjskiej są zgodne z Koranem, to są zbędne. Jeżeli nie są zgodne, to są szkodliwe. Książki z Biblioteki Aleksandryjskiej są zatem zbędne lub szkodliwe. Jeżeli są zbędne, to należy je spalić. Jeżeli są szkodliwe, to tym bardziej należy to uczynić. Zatem należy spalić książki z Biblioteki Aleksandryjskiej.

Formalna poprawność dedukcyjnych wnioskowań

Czym jest wynikanie logiczne?  

Załóżmy, że Artur jest ojcem Bogdana, zaś Bogdan jest ojcem Cypriana. Skoro tak, to Artur musi być ojcem ojca Cypriana, (czyli dziadkiem Cypriana). Intuicyjnie zdanie "Artur jest dziadkiem Cypriana" wynika z naszego założenia. Na tym właśnie polega główna idea wynikania logicznego: z A wynika logicznie B, kiedy nie jest możliwa sytuacja, w której A jest prawdziwe, a B fałszywe. 

Zanim ujmiemy pojęcie wynikania bardziej precyzyjnie, wprowadźmy potrzebne pojęcia. Jak wiemy już, do języka KRZ należą zmienne zdaniowe (którymi zastępujemy pojedyncze zdania). Za pomocą spójników możemy budować formuły KRZ (zgodnie z regułami budowy). Wiemy też, że każda pojedyncza zmienna zdaniowa może mieć wartość logiczną prawda albo fałsz, a wartość logiczna złożonych formuł zależy od wartości logicznych formuł składowych oraz definicji spójników. Pamiętamy, że w alfabecie KRZ jest nieskończenie wiele zmiennych zdaniowych, w związku z czym możemy zastąpić zmiennymi wszystkie pojedyncze zdania języka potocznego, zarówno prawdziwe (Warszawa jest stolicą Polski), jak i fałszywe (Polacy lądowali na Księżycu). W taki sposób - poprzez przyporządkowanie zmiennym zdaniowym wartości logicznych prawdy albo fałszu - ustalamy znaczenie tych zmiennych (ustalamy znaczenie zdań prostych). Takie ustalenie znaczenia zdań prostych (przyporządkowanie im jednej wartości prawda bądź fałsz) nazywa się interpretacja. Czyli zdania proste same w sobie nie są ani prawdziwe, ani fałszywe - one posiadają wartość logiczną dopiero przy konkretnej interpretacji. Zbiór wszystkich zmiennych zdaniowych, którym została przyporządkowana wartość prawda, nazywa się modelem. Na oznaczenie modelu (podzbioru zmiennych zdaniowych, którym została przyporządkowana wartość prawda) będziemy używali symbolu ℳ. Jeśli jakieś zdanie pn należy do ℳ  (pn∈ℳ ), to rozumiemy przez to, że pn  jest prawdziwe w modelu ℳ. Odpowiednio jeśli jakieś zdanie pn nie należy do ℳ  (pn∉ℳ ), to rozumiemy przez to, że pn  jest fałszywe w modelu ℳ. A co ze zdaniami złożonymi? Są one prawdziwe bądź fałszywe ze względu na to, jakie wartości mają zdania składowe.

Zamiast mówienia, że zdanie jest prawdziwe (bądź nie) w modelu, mówimy, że zdanie jest spełnione (bądź nie) w modelu ℳ. By zapisać, że zdanie α jest spełnione w modelu ℳ, używamy następującego oznaczenia: ℳ ⊨ α.

Powiedzieliśmy, że zdania proste nie są same w sobie prawdziwe bądź fałszywe, lecz posiadają wartość logiczną przy określonej interpretacji. Natomiast są takie zdania złożone, które są prawdziwe w każdym modelu, a mianowicie zdaniami takimi są tautologie. Mówimy o takich zdaniach, że są one logicznie prawdziwe.

Teraz można powiedzieć, czym jest wynikanie, że ze zbioru prawdziwych przesłanek (na oznaczanie zbioru przesłanek użyjmy symbolu "Γ") wynika wniosek α. Zauważmy najpierw, że "prawdziwość" jest pojęciem semantycznym - ustaliliśmy za pomocą interpretacji relację pomiędzy znakami (zmiennymi zdaniowymi) a rzeczywistością (czy są to zmienne prawdziwe czy fałszywe). Tym samym prawdziwość jest zrelatywizowana do modelu (czyli zależy od wyboru, które spośród zmiennych zdaniowych będziemy uważać za prawdziwe). Jeśli jest tak, że w dowolnym modelu, w którym przesłanki są prawdziwe, będzie również prawdziwy wniosek, to mówimy, że z tych przesłanek wniosek wynika semantycznie. Jest to precyzyjne wysłowienie wyjściowej intuicji: z prawdziwych przesłanek wynika wniosek, kiedy nie nie jest możliwa sytuacja, w której przesłanki są prawdziwe, a wniosek fałszywy. "Nie jest możliwa sytuacja" - czyli nie istnieje taki model, który spełnia przesłanki, a nie spełnia wniosku.

Wnioskowania (czyli przejście od przesłanek do wniosku(-ów)) można zapisać schematycznie w następujący sposób (literami αi oznaczając przesłanki, a literą β oznaczając wniosek):

α1, α2, ..., αn

-----------------

β

Ciągi formuł z wyróżnionymi przesłankami i wnioskiem(-ami) nazywamy regułami. Wnioskowanie jest poprawne, gdy jest oparte o regułę niezawodną.

Sprawdzić, czy reguła jest niezawodna, możemy poprzez badanie, czy faktycznie jest tak, że z przesłanek wynika wniosek. Na przykład, sprawdźmy, czy poniższy schemat rozumowania jest oparty o regułę niezawodną:

α ∧ β

β → ¬γ

––––––

γ → ¬α

Musimy sprawdzić, czy {α ∧ β, β → ¬γ} ⊨ γ → ¬α, czyli czy jest tak, że w każdej sytuacji, w której przesłanki są prawdziwe, wniosek jest również prawdziwy. Sprawdzać możemy dowolną metodą, tabelkową, skróconą bądź drzewkową.

Przykłady spełniania formuł w modelu

Rozważmy jakiś model, na przykład taki: ℳ ={p, q, r}. "Wąsate" nawiasy są symbolem zbioru. Symbol ∈ oznacza "należy do zbioru", "jest elementem zbioru". W naszym przykładzie p ∈ ℳ, q ∈ ℳ, r ∈ ℳ. Te zmienne zdaniowe są prawdziwe (funkcja interpretacji przypisała im wartość "1"), a wszystkie inne zmienne zdaniowe fałszywe - wynika to z definicji modelu.

Zauważ, że ta informacja (co należy do ℳ) jest zupełnie wystarczająca, by rozstrzygnąć, czy dowolna formuła jest spełniona (prawdziwa) w tym modelu. Rozpisujemy warunki spełniania zgodnie z definicją (przez wtw) i na końcu zawsze dochodzimy do sprawdzania, czy pojedyncze zmienne należą bądź nie do ℳ. Oto kilka przykładów:

ℳ ⊨ p∧¬q wtw ℳ ⊨ p oraz ℳ ⊨ ¬q wtw p ∈ ℳ oraz nie jest tak, że ℳ ⊨ q wtw p ∈ ℳ oraz nie jest tak, że q ∈ ℳ. (NIE, NIE JEST SPEŁNIONA, ponieważ q ∈ ℳ).

ℳ ⊨ ¬(p∧¬q) wtw gdy nie jest tak, że ℳ ⊨ p∧¬q wtw gdy nie jest tak, że: ℳ ⊨ p oraz ℳ ⊨ ¬q wtw gdy nie jest tak, że: p ∈ ℳ oraz nie jest tak, że ℳ ⊨ q wtw gdy nie jest tak, że: p ∈ ℳ oraz nie jest tak, że q ∈ ℳ . (JEST SPEŁNIONA, ponieważ nie są spełnione oba warunki naraz - że  p należy do ℳ, a q nie należy).

ℳ ⊨ ¬s→t wtw gdy nie jest tak, że ℳ ⊨ ¬s lub jest tak, że ℳ ⊨ t wtw gdy nie jest tak, że nie jest tak, że ℳ ⊨ s lub jest tak, że t ∈ ℳ wtw gdy jest tak, że s ∈ ℳ lub jest tak, że t ∈ ℳ. (NIE, NIE JEST SPEŁNIONA, ponieważ s i t nie należą do ℳ).

ℳ ⊨ ¬s↔t wtw ℳ ⊨ ¬s wtedy i tylko wtedy, gdy ℳ ⊨ t wtw gdy nie jest tak, że ℳ ⊨ s wtedy i tylko wtedy, gdy t ∈ ℳ wtw gdy nie jest tak, że s ∈ ℳ wtedy i tylko wtedy, gdy  t ∈ ℳ. (NIE, NIE JEST SPEŁNIONA: obie zmienne t i s nie należą do ℳ, więc ℳ spełnia ¬s, ale nie spełnia t). 

ℳ ⊨ s↔t wtw ℳ ⊨ s wtedy i tylko wtedy, gdy ℳ ⊨ t wtw gdy s ∈ ℳ wtedy i tylko wtedy, gdy t ∈ ℳ. (TAK, JEST SPEŁNIONA: obie zmienne t i s nie należą do ℳ). 

(równoważność jest spełniona, gdy oba człony równoważności są spełnione bądź oba człony równoważności nie są spełnione - właśnie to uchwytuje warunek "wtedy i tylko wtedy gdy" w definicji spełniania równoważności)  

Sprawdzanie metodą tabelkową

Przy metodzie tabelkowej musimy popatrzeć, ile różnych zmiennych występuję w rozumowaniu. W naszym przykładzie greckimi literami zastąpiliśmy dowolne formuły. Różnych liter jest 3, w związku z czym tabelka dla tego schematu rozumowania będzie miała 23 = 8 wierszy. Robimy kolumny dla poszczególnych zmiennych (liter) oraz kolumny dla wszystkich przesłanek oraz wniosku:

Sprawdzanie metodą skróconą

Przy sprawdzeniu skróconą metodą tworzymy implikację: w jej poprzedniku znajdują się przesłanki połączone koniunkcją, a w następniku znajduje się wniosek (bądź wnioski połączone koniunkcją w przypadku, kiedy wniosków jest kilka):

((α ∧ β)∧(β → ¬γ))→(γ → ¬α) 

Zakładamy (założenie nie wprost), że nasza formuła może być fałszywa (czyli przesłanki są prawdziwe, a wniosek fałszywy) i badamy konsekwencje naszego założenia:

Sprawdzanie metodą drzewkową

Sprawdzaliśmy, czy schemat rozumowania został oparty o regułę niezawodną. Jeśli w miejsce α, β i γ podstawić dowolne zdania, to wszystkie rozumowania, które otrzymamy, będą poprawne - we wszystkich przypadkach otrzymamy, że wniosek semantycznie wynika z przesłanek.

A co, jeśli rozumowanie nie jest oparte o regułę niezawodną? - W takim przypadku metoda tabelkowa, skrócona oraz drzewkowa wykaże, w której sytuacji (czyli przy jakim wartościowaniu zmiennych zdaniowych) jest tak, że przesłanki są prawdziwe, a wniosek fałszywy. Wartościowanie takie jest wartościowaniem obalającym (obalającym twierdzenie, że z przesłanek wynika wniosek).

Uwaga: poprawność formalna wnioskowań nie zależy od tego, czy wnioskowanie jest czy nie jest materialnie poprawne. Warunek formalnej poprawności ma postać implikacji (jeśli przesłanki są prawdziwe, to wniosek również prawdziwy) i nie jest złamany w sytuacji, kiedy przesłanki są fałszywe.

Pewnego pięknego poranka statek Kapitana de Morgana "Czarna alternatywa" zacumował na wyspie Tortuga, raju zbirów i rzezimieszków wszelkiej maści. Kapitan de Morgan rzucił okiem na powiewającą czarną banderę z trupią czaszką i dwiema skrzyżowanymi implikacjami i ruszył do tawerny "Strać równoważność". Spotkał tam majtka Jasia Wędrowniczka i bosmana Jima Beama, którzy gawędzili przy szklanicach jamajskiego rumu.

JB: "Powiadają, kapitanie, że jeśli spotkasz na morzu syrenę, to nie wrócisz do portu."

JW: "Bzdury, wrócisz. A na morzu spotkasz albo syrenę, albo Krakena."

JB: "Jak spotkasz Krakena, to zaciągnie cię na samiutkie dno."

Kapitan de Morgan walnął pięścią w stół: "A niech mnie koniunkcja! Przecież z tego, co pleciecie, wynika, że Kraken zaciągnie cię na dno!" 

Majtek Jaś Wędrowniczek i bosman Jim Beam popatrzyli na siebie, na Kapitana de Morgana, na papugę Tautologię, nalali sobie po szklanicy jamajskiego rumu i kontynuowali morskie opowieści:

JB: "Ech, gdybym miał magiczny kompas, to bym znalazł Wyspę Skarbów."

JW: "Ale go nie masz, gamoniu."

Kapitan de Morgan roześmiał się: "Ho-ho-ho, a niech mnie spójniki! Zatem Wyspy nie znajdziesz!"

Tutoriale z Youtube

Testy

LogiCola - szkoła logiki online

Interaktywny kurs logiki autorstwa Harry'ego Genslera. Jest to kurs za darmo ale po angielsku. LINK Do tej części kursu - zestaw ćwiczeń E

• Sprawdzanie wynikania - Set E(S) (czy z zestawu formuł wynika inna formuła)

• Sprawdzanie budowy argumentu - Set E(F) (na rozumienie, gdzie są przesłanki, a gdzie wniosek)

• Sprawdzanie poprawności rozumowań - Set E(E)

• Sprawdzanie poprawności rouzmowań - Set E(I)

Uwaga: w Logicoli formuły są ujmowane w zewnętrzne nawiasy, a na oznaczenie spójników są używane następujące symbole:

• na spójnik koniunkcji: ·

• na spójnik alternatywy ∨ 

• na spójnik negacji: ~

• na spójnik implikacji: ⊃ 

• na spójnik równoważności: ≡ 

Na oznaczenie "a więc" (znaku wskazującego wniosek) jest używany symbol ∴ 

Informacja zwrotna